Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( 4 ; 2 ; 4 \right)$ ; đường thẳng $d$ : $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z-3}{2}$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ : $x-2y+2z-5=0$. Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua điểm $A$, cắt đường thẳng $d$ và song song với mặt phẳng $\left( P \right)$. Đường thẳng $\Delta $ nằm trong mặt phẳng nào sau đây?
A. $2x-3y-3z+10=0$.
B. $3x+2y+3z-13=0$.
C. $2x+3y-3z-2=0$.
D. $3x-2y+3z-5=0$.
A. $2x-3y-3z+10=0$.
B. $3x+2y+3z-13=0$.
C. $2x+3y-3z-2=0$.
D. $3x-2y+3z-5=0$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vector pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 1 ; -2 ; 2 \right)$.
Gọi $B$ là giao điểm của $\Delta $ và $d$ $\Rightarrow $ $B\left( 2+t ; -1+3t ; 3+2t \right)$ $\Rightarrow $ $\overrightarrow{AB}=\left( -2+t ; -3+3t ; -1+2t \right)$.
Do $\Delta //\left( P \right)$ nên ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n}=0$ $\Leftrightarrow $ $1\left( -2+t \right)-2\left( -3+3t \right)+2\left( -1+2t \right)=0$ $\Leftrightarrow $ $t=2$.
$\Rightarrow $ $B\left( 4 ; 5 ; 7 \right)$.
Dễ thấy $B\notin \left( P \right)$ nên $\Delta $ là đường thẳng đi qua hai điểm $A$ và $B$.
Thay tọa độ $A$ và $B$ vào các đáp án thấy $A$ và $B$ thuộc mặt phẳng $2x+3y-3z-2=0$.
Do đó đường thẳng $\Delta $ nằm trong mặt phẳng $2x+3y-3z-2=0$.
Gọi $B$ là giao điểm của $\Delta $ và $d$ $\Rightarrow $ $B\left( 2+t ; -1+3t ; 3+2t \right)$ $\Rightarrow $ $\overrightarrow{AB}=\left( -2+t ; -3+3t ; -1+2t \right)$.
Do $\Delta //\left( P \right)$ nên ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n}=0$ $\Leftrightarrow $ $1\left( -2+t \right)-2\left( -3+3t \right)+2\left( -1+2t \right)=0$ $\Leftrightarrow $ $t=2$.
$\Rightarrow $ $B\left( 4 ; 5 ; 7 \right)$.
Dễ thấy $B\notin \left( P \right)$ nên $\Delta $ là đường thẳng đi qua hai điểm $A$ và $B$.
Thay tọa độ $A$ và $B$ vào các đáp án thấy $A$ và $B$ thuộc mặt phẳng $2x+3y-3z-2=0$.
Do đó đường thẳng $\Delta $ nằm trong mặt phẳng $2x+3y-3z-2=0$.
Đáp án C.