Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( 2;4;-2 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):\left( {{m}^{2}}+1 \right)x-\left( {{m}^{2}}-1 \right)y+2mz+4=0$. Biết rằng, khi tham số thay đổi thì mặt phẳng $\left( P \right)$ luôn tiếp xúc với hai mặt cầu cố định cùng đi qua $A$ là $\left( {{S}_{1}} \right)$, $\left( {{S}_{2}} \right)$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là hai điểm nằm trên $\left( {{S}_{1}} \right)$ và $\left( {{S}_{2}} \right)$. Tìm giá trị lớn nhất của $MN$.
A. $16\sqrt{2}$
B. $8+8\sqrt{2}$
C. $8\sqrt{2}$
D. $8+6\sqrt{2}$
A. $16\sqrt{2}$
B. $8+8\sqrt{2}$
C. $8\sqrt{2}$
D. $8+6\sqrt{2}$
Đặt $m=\tan t$, $\left( P \right):\left( {{\tan }^{2}}t+1 \right)x-\left( {{\tan }^{2}}t-1 \right)y+2\tan t.z+4=0$
Khi đó ta có được:
$R=d\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| a-\cos 2tb+\sin 2tc+2\cos 2t+2 \right|}{\sqrt{2}}=\dfrac{\left| a+\left( 2-b \right)\cos 2t+\sin 2tc+2 \right|}{\sqrt{2}}$.
Để $R$ không đổi khi $t$ thay đổi $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
b=2 \\
c=0 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow I\left( a;2;0 \right)$
Khi đó $d\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| a+2 \right|}{\sqrt{2}}=R$ và mặt cầu qua $A\left( 2;4;-2 \right)$
Nên $I{{A}^{2}}={{R}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{a+2}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}={{\left( a-2 \right)}^{2}}+8\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
a=2,{{R}_{1}}=2\sqrt{2} \\
a=10,{{R}_{2}}=6\sqrt{2} \\
\end{matrix} \right.$.
Khi đí $M{{N}_{\max }}={{I}_{1}}{{I}_{2}}+{{R}_{1}}+{{R}_{2}}=8+8\sqrt{2}$.
$\Leftrightarrow \left( P \right):x-\cos 2ty+\sin 2tz+2\cos 2t+2=0$
Gọi $I\left( a;b;c \right)$ và $R$ lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu tiếp xúc với $\left( P \right)$ với $R$ không đổi.Khi đó ta có được:
$R=d\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| a-\cos 2tb+\sin 2tc+2\cos 2t+2 \right|}{\sqrt{2}}=\dfrac{\left| a+\left( 2-b \right)\cos 2t+\sin 2tc+2 \right|}{\sqrt{2}}$.
Để $R$ không đổi khi $t$ thay đổi $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
b=2 \\
c=0 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow I\left( a;2;0 \right)$
Khi đó $d\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| a+2 \right|}{\sqrt{2}}=R$ và mặt cầu qua $A\left( 2;4;-2 \right)$
Nên $I{{A}^{2}}={{R}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{a+2}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}={{\left( a-2 \right)}^{2}}+8\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
a=2,{{R}_{1}}=2\sqrt{2} \\
a=10,{{R}_{2}}=6\sqrt{2} \\
\end{matrix} \right.$.
Khi đí $M{{N}_{\max }}={{I}_{1}}{{I}_{2}}+{{R}_{1}}+{{R}_{2}}=8+8\sqrt{2}$.
Đáp án B.