Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( 2 ; 1 ; -1 \right)$ và đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+2}{-1}$. Viết phương trình mặt phẳng chứa $d$ và cách $A$ một khoảng lớn nhất
A. $x+2y+4z+7=0$.
B. $x-2y+4z+7=0$.
C. $x+2y-4z-9=0$.
D. $x+4y+3z+5=0$
Gọi $\left( P \right)$ phương trình mặt phẳng chứa $d$ và cách $A$ một khoảng lớn nhất
Gọi $H,I$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$ và đường thẳng $d$.
Ta có $I=\left( 1+2t; t ; -2-t \right)\in d$ $\Rightarrow \overrightarrow{AI}=\left( 2t-1 ; t-1; -t-1 \right)$.
Mặt khác $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Rightarrow t=\dfrac{1}{3}$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& I=\left( \dfrac{5}{3}; \dfrac{1}{3} ;-\dfrac{7}{3} \right) \\
& \overrightarrow{AI}=\left( -\dfrac{1}{3} ;-\dfrac{2}{3}; \dfrac{-4}{3} \right)\Rightarrow \overrightarrow{AI}=\left( 1 ;2 ;4 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Mặt khác $d\left( A, \left( P \right) \right)=AH\le AI\Rightarrow d{{\left( A,\left( P \right) \right)}_{\max }}=AI$
Dấu $'='$ xảy ra khi $H\equiv I$ $\Rightarrow $ $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\overrightarrow{AI}=\left( 1; 2 ;4 \right)$
$\Rightarrow $ Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ : $x+2y+4z+7=0$.
A. $x+2y+4z+7=0$.
B. $x-2y+4z+7=0$.
C. $x+2y-4z-9=0$.
D. $x+4y+3z+5=0$
Gọi $H,I$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$ và đường thẳng $d$.
Ta có $I=\left( 1+2t; t ; -2-t \right)\in d$ $\Rightarrow \overrightarrow{AI}=\left( 2t-1 ; t-1; -t-1 \right)$.
Mặt khác $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Rightarrow t=\dfrac{1}{3}$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& I=\left( \dfrac{5}{3}; \dfrac{1}{3} ;-\dfrac{7}{3} \right) \\
& \overrightarrow{AI}=\left( -\dfrac{1}{3} ;-\dfrac{2}{3}; \dfrac{-4}{3} \right)\Rightarrow \overrightarrow{AI}=\left( 1 ;2 ;4 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Mặt khác $d\left( A, \left( P \right) \right)=AH\le AI\Rightarrow d{{\left( A,\left( P \right) \right)}_{\max }}=AI$
Dấu $'='$ xảy ra khi $H\equiv I$ $\Rightarrow $ $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\overrightarrow{AI}=\left( 1; 2 ;4 \right)$
$\Rightarrow $ Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ : $x+2y+4z+7=0$.
Đáp án A.