Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz cho điểm $A(2;2;-1)$ và đường thẳng $\Delta $ có phương trình: $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z-3}{1}$. Viết phương trình tham số của đường thẳng $d$ đi qua $A$, cắt và vuông góc với đường thẳng $\Delta $.
A. $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=-3+2t \\
y=-3+2t \\
z=3-t \\
\end{array} \right. $.
B. $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=1+2t \\
y=1+2t \\
z=-1-t \\
\end{array} \right. $.
C. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=2+t \\
& z=-1-t \\
\end{aligned} \right. $.
D. $ \left\{ \begin{aligned}
A. $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=-3+2t \\
y=-3+2t \\
z=3-t \\
\end{array} \right. $.
B. $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=1+2t \\
y=1+2t \\
z=-1-t \\
\end{array} \right. $.
C. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=2+t \\
& z=-1-t \\
\end{aligned} \right. $.
D. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=2+t \\
& z=-1-2t \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi $B=d\cap \Delta \Rightarrow B\left( 1+2t;\ -2-t;\ 3+t \right)$. Ta có:
+ Đường thẳng $\Delta $ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left( 2;\ -1;\ 1 \right)$.
+ $\overrightarrow{AB}=\left( 2t-1;\ -4-t;\ 4+t \right)$.
Do đường thẳng $d$ vuông góc với đường thẳng $\Delta $ nên:
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow 2.\left( 2t-1 \right)+\left( -1 \right).\left( -4-t \right)+1.\left( 4+t \right)=0\Leftrightarrow 6t+6=0\Leftrightarrow t=-1$.
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -3;\ -3;\ 3 \right)$.
Vậy phương trình tham số của đường thẳng $d$ là: $\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=2+t \\
& z=-1-t \\
\end{aligned} \right.$.
& y=2+t \\
& z=-1-2t \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi $B=d\cap \Delta \Rightarrow B\left( 1+2t;\ -2-t;\ 3+t \right)$. Ta có:
+ Đường thẳng $\Delta $ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left( 2;\ -1;\ 1 \right)$.
+ $\overrightarrow{AB}=\left( 2t-1;\ -4-t;\ 4+t \right)$.
Do đường thẳng $d$ vuông góc với đường thẳng $\Delta $ nên:
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow 2.\left( 2t-1 \right)+\left( -1 \right).\left( -4-t \right)+1.\left( 4+t \right)=0\Leftrightarrow 6t+6=0\Leftrightarrow t=-1$.
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -3;\ -3;\ 3 \right)$.
Vậy phương trình tham số của đường thẳng $d$ là: $\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=2+t \\
& z=-1-t \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án C.