Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho các điểm $A\left( 1;1;1 \right), B\left( -1;2;0 \right), C\left( 3;-1;2 \right)$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x-y+2z+7=0$. Điểm $M$ chạy tùy ý trên $\left( \alpha \right).$ Gọi $m$ là giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left| 3\overrightarrow{MA}+5\overrightarrow{MB}-7\overrightarrow{MC} \right|$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $m\in \left( 24;28 \right)$.
B. $m\in \left( 20;24 \right)$.
C. $m\in \left( 10;20 \right)$.
D. $m\in \left( 28;47 \right)$.
A. $m\in \left( 24;28 \right)$.
B. $m\in \left( 20;24 \right)$.
C. $m\in \left( 10;20 \right)$.
D. $m\in \left( 28;47 \right)$.
Gọi $I$ sao cho $3\overrightarrow{IA}+5\overrightarrow{IB}-7\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow I=\dfrac{3A+5B-7C}{3+5-7}=\left( -23;20;-9 \right)$
Ta có : $d\left( I;\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{\left| 2.\left( -23 \right)-20+2.\left( -9 \right)+7 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\dfrac{77}{3}.$
Xét $\left| 3\overrightarrow{MA}+5\overrightarrow{MB}-7\overrightarrow{MC} \right|=\left| \overrightarrow{MI}+\left( 3\overrightarrow{IA}+5\overrightarrow{IB}-7\overrightarrow{IC} \right) \right|=MI\ge d\left( I;\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{77}{3}.$
Ta có : $d\left( I;\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{\left| 2.\left( -23 \right)-20+2.\left( -9 \right)+7 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\dfrac{77}{3}.$
Xét $\left| 3\overrightarrow{MA}+5\overrightarrow{MB}-7\overrightarrow{MC} \right|=\left| \overrightarrow{MI}+\left( 3\overrightarrow{IA}+5\overrightarrow{IB}-7\overrightarrow{IC} \right) \right|=MI\ge d\left( I;\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{77}{3}.$
Đáp án A.