Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho ba mặt phẳng $\left( P \right):x-2y+z-1=0,$ $\left( Q \right):x-2y+z+8=0,\left( R \right):x-2y+z-4=0.$ Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng $\left( P \right),\left( Q \right),\left( R \right)$ lần lượt tại A,B,C. Giá trị nhỏ nhất của $T=A{{B}^{2}}+\dfrac{144}{AC}$ bằng
A. $72\sqrt[3]{3}.$
B. 96.
C. 108.
D. 32.
Ta có $\left( P \right),\!\!~\!\!\left( Q \right),\!\!~\!\!\left( R \right)$ đôi một song song và $\left( P \right)$ nằm giữa $\left( Q \right),\!\!~\!\!\left( R \right).$
Kẻ $BH\bot \left( P \right),\!\!~\!\!BK\bot \left( R \right)\Rightarrow B,\!\!~\!\!H,\!\!~\!\!K$ thẳng hàng.
Điểm $M\left( 0;0;-8 \right)\in \left( Q \right).$ $BH=d\left( M;\left( P \right) \right)=3;\!\!~\!\!BK=d\left( M;\left( R \right) \right)=4\Rightarrow HK=1.$
Ta có $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BH}{HK}=3\Rightarrow AB=3AC$
$\Rightarrow T=A{{B}^{2}}+\dfrac{144}{AC}=9A{{C}^{2}}+\dfrac{72}{AC}+\dfrac{72}{AC}\ge 3\sqrt[3]{9A{{C}^{2}}.\dfrac{72}{AC}.\dfrac{72}{AC}}=108.$ Chọn C.
A. $72\sqrt[3]{3}.$
B. 96.
C. 108.
D. 32.
Kẻ $BH\bot \left( P \right),\!\!~\!\!BK\bot \left( R \right)\Rightarrow B,\!\!~\!\!H,\!\!~\!\!K$ thẳng hàng.
Điểm $M\left( 0;0;-8 \right)\in \left( Q \right).$ $BH=d\left( M;\left( P \right) \right)=3;\!\!~\!\!BK=d\left( M;\left( R \right) \right)=4\Rightarrow HK=1.$
Ta có $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BH}{HK}=3\Rightarrow AB=3AC$
$\Rightarrow T=A{{B}^{2}}+\dfrac{144}{AC}=9A{{C}^{2}}+\dfrac{72}{AC}+\dfrac{72}{AC}\ge 3\sqrt[3]{9A{{C}^{2}}.\dfrac{72}{AC}.\dfrac{72}{AC}}=108.$ Chọn C.
Đáp án C.