Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng d: $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+1}{-2}$, ${{\Delta }_{1}}$ : $\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{1}$, ${{\Delta }_{2}}$ : $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z}{1}$. Đường thẳng $\Delta $ vuông góc với d đồng thời cắt ${{\Delta }_{1}}$, ${{\Delta }_{2}}$ tại H, K sao cho độ dài HK nhỏ nhất. Biết rằng $\Delta $ có một véctơ chỉ phương $\vec{u}=\left( h;k;1 \right)$. Giá trị của $h-k$ bằng
A. 0.
B. 4.
C. 6.
D. –2.
A. 0.
B. 4.
C. 6.
D. –2.
Gọi $H=\Delta \cap {{\Delta }_{1}}\Rightarrow H\in {{\Delta }_{1}}\Rightarrow H\left( 3+2a;a;1+a \right)$
Và $K=\Delta \cap {{\Delta }_{2}}\Rightarrow K\in {{\Delta }_{2}}\Rightarrow K\left( 1+b;2+2b;b \right)$
Suy ra $\overrightarrow{HK}=\left( -2-2a+b;2-a+2b;-1-a+b \right)$
Vì $\Delta \bot d\Rightarrow \overrightarrow{HK}.{{\vec{u}}_{d}}=0\Rightarrow b=a-2$
Do đó $\overrightarrow{HK}=\left( -4-a;-2+a;-3 \right)\Rightarrow HK=\sqrt{{{\left( a+4 \right)}^{2}}+{{\left( a-2 \right)}^{2}}+9}$
$=\sqrt{2{{a}^{2}}+4a+29}=\sqrt{2.{{\left( a+1 \right)}^{2}}+27}\ge 3\sqrt{3}\xrightarrow[{}]{{}}H{{K}_{\min }}=3\sqrt{3}$
Dấu bằng xảy ra khi $a=-1\Rightarrow \overrightarrow{HK}=\left( -3;-3;-3 \right)\Rightarrow {{\vec{u}}_{\Delta }}=\left( 1;1;1 \right)$
Tọa độ véctơ $\overrightarrow{HK}=\left( {{x}_{K}}-{{x}_{H}};{{y}_{K}}-{{y}_{H}};{{z}_{K}}-{{z}_{H}} \right)$
Tích vô hướng của hai véctơ vuông góc bằng 0.
Công thức tọa độ tích vô hướng: $\vec{a}.\vec{b}={{x}_{a}}.{{x}_{b}}+{{y}_{a}}.{{y}_{b}}+{{z}_{a}}.{{z}_{b}}$ .
Độ dài véctơ $\vec{a}=\left( x;y;z \right)$ là $\left| {\vec{a}} \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}$.
Có ${{\left( a+b \right)}^{2}}\ge 0$ với $\forall a;b$.
Dấu $''=''$ xảy ra $\Leftrightarrow a+b=0$.
Và $K=\Delta \cap {{\Delta }_{2}}\Rightarrow K\in {{\Delta }_{2}}\Rightarrow K\left( 1+b;2+2b;b \right)$
Suy ra $\overrightarrow{HK}=\left( -2-2a+b;2-a+2b;-1-a+b \right)$
Vì $\Delta \bot d\Rightarrow \overrightarrow{HK}.{{\vec{u}}_{d}}=0\Rightarrow b=a-2$
Do đó $\overrightarrow{HK}=\left( -4-a;-2+a;-3 \right)\Rightarrow HK=\sqrt{{{\left( a+4 \right)}^{2}}+{{\left( a-2 \right)}^{2}}+9}$
$=\sqrt{2{{a}^{2}}+4a+29}=\sqrt{2.{{\left( a+1 \right)}^{2}}+27}\ge 3\sqrt{3}\xrightarrow[{}]{{}}H{{K}_{\min }}=3\sqrt{3}$
Dấu bằng xảy ra khi $a=-1\Rightarrow \overrightarrow{HK}=\left( -3;-3;-3 \right)\Rightarrow {{\vec{u}}_{\Delta }}=\left( 1;1;1 \right)$
Note 18: Phương pháp chung
Tham số điểm thuộc đường thẳng.Tọa độ véctơ $\overrightarrow{HK}=\left( {{x}_{K}}-{{x}_{H}};{{y}_{K}}-{{y}_{H}};{{z}_{K}}-{{z}_{H}} \right)$
Tích vô hướng của hai véctơ vuông góc bằng 0.
Công thức tọa độ tích vô hướng: $\vec{a}.\vec{b}={{x}_{a}}.{{x}_{b}}+{{y}_{a}}.{{y}_{b}}+{{z}_{a}}.{{z}_{b}}$ .
Độ dài véctơ $\vec{a}=\left( x;y;z \right)$ là $\left| {\vec{a}} \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}$.
Có ${{\left( a+b \right)}^{2}}\ge 0$ với $\forall a;b$.
Dấu $''=''$ xảy ra $\Leftrightarrow a+b=0$.
Đáp án A.