Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left( 2;0;0 \right),B\left(...

The Knowledge · 18/12/21

Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm

A (2; 0; 0), B (0; 4; 0), C (0; 0; 6)

. Điểm M thay đổi trên mặt phẳng

(A B C)

và N là điểm trên tia

O M . O N = 12

. Biết rằng khi M thay đổi, điểm N luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tính bán kính của mặt cầu đó.
A.

\frac{7}{2}

.
B.

3 \sqrt{2}

.
C.

2 \sqrt{3}

.
D.

\frac{5}{2}

.

Phương trình mặt phẳng

(A B C) : \frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 6 x + 3 y + 2 z - 12 = 0

.
Bài ra N là điểm trên tia OM sao cho

O M . O N = 12

.
Phân tích

\vec{O M} = k . \vec{O N}

với

k = \frac{O M}{O N} = \frac{\frac{12}{O N}}{O N} = \frac{12}{O N^{2}} \Rightarrow \vec{O M} = \frac{12}{O N^{2}} . \vec{O N}

\Rightarrow M (\frac{12 x}{x^{2} + y^{2} + z^{2}}; \frac{12 y}{x^{2} + y^{2} + z^{2}}; \frac{12 z}{x^{2} + y^{2} + z^{2}})

với

N (x; y; z)

.
Mặt khác

M \in (A B C) \Rightarrow 6. \frac{12 x}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} + 3. \frac{12 y}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} + 2. \frac{12 z}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} - 12 = 0

\Leftrightarrow 6 x + 3 y + 2 z - (x^{2} + y^{2} + x^{2}) = 0 \Leftrightarrow {(x - 3)}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} + {(z - 1)}^{2} = \frac{49}{4}

.
Vậy N luôn thuộc mặt cầu cố định

(S) : {(x - 3)}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} + {(z - 1)}^{2} = \frac{49}{4}

.
Mặt cầu này có tâm

I (3; \frac{3}{2}; 1)

và bán kính

R = \frac{7}{2}

.

Đáp án A.