Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left( 2;0;0 \right),B\left( 0;4;0 \right),C\left( 0;0;6 \right)$. Điểm M thay đổi trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và N là điểm trên tia $OM.ON=12$. Biết rằng khi M thay đổi, điểm N luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tính bán kính của mặt cầu đó.
A. $\dfrac{7}{2}$.
B. $3\sqrt{2}$.
C. $2\sqrt{3}$.
D. $\dfrac{5}{2}$.
A. $\dfrac{7}{2}$.
B. $3\sqrt{2}$.
C. $2\sqrt{3}$.
D. $\dfrac{5}{2}$.
Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right):\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{4}+\dfrac{z}{6}=1\Leftrightarrow 6x+3y+2z-12=0$.
Bài ra N là điểm trên tia OM sao cho $OM.ON=12$.
Phân tích $\overrightarrow{OM}=k.\overrightarrow{ON}$ với $k=\dfrac{OM}{ON}=\dfrac{\dfrac{12}{ON}}{ON}=\dfrac{12}{O{{N}^{2}}}\Rightarrow \overrightarrow{OM}=\dfrac{12}{O{{N}^{2}}}.\overrightarrow{ON}$
$\Rightarrow M\left( \dfrac{12x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}};\dfrac{12y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}};\dfrac{12z}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}} \right)$ với $N\left( x;y;z \right)$.
Mặt khác $M\in \left( ABC \right)\Rightarrow 6.\dfrac{12x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+3.\dfrac{12y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+2.\dfrac{12z}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}-12=0$
$\Leftrightarrow 6x+3y+2z-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{x}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=\dfrac{49}{4}$.
Vậy N luôn thuộc mặt cầu cố định $\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=\dfrac{49}{4}$.
Mặt cầu này có tâm $I\left( 3;\dfrac{3}{2};1 \right)$ và bán kính $R=\dfrac{7}{2}$.
Bài ra N là điểm trên tia OM sao cho $OM.ON=12$.
Phân tích $\overrightarrow{OM}=k.\overrightarrow{ON}$ với $k=\dfrac{OM}{ON}=\dfrac{\dfrac{12}{ON}}{ON}=\dfrac{12}{O{{N}^{2}}}\Rightarrow \overrightarrow{OM}=\dfrac{12}{O{{N}^{2}}}.\overrightarrow{ON}$
$\Rightarrow M\left( \dfrac{12x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}};\dfrac{12y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}};\dfrac{12z}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}} \right)$ với $N\left( x;y;z \right)$.
Mặt khác $M\in \left( ABC \right)\Rightarrow 6.\dfrac{12x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+3.\dfrac{12y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+2.\dfrac{12z}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}-12=0$
$\Leftrightarrow 6x+3y+2z-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{x}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=\dfrac{49}{4}$.
Vậy N luôn thuộc mặt cầu cố định $\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=\dfrac{49}{4}$.
Mặt cầu này có tâm $I\left( 3;\dfrac{3}{2};1 \right)$ và bán kính $R=\dfrac{7}{2}$.
Đáp án A.