Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$ cho $A\left( 1;2;-1 \right)$, $B\left( 3;1;-2 \right)$, $C\left( 2;3;-3 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x-2y+2z-3=0$. $M\left( a;b;c \right)$ là điểm thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ sao cho biểu thức $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}$ có giá trị nhỏ nhất. Xác định $a+b+c$.
A. $-3$.
B. $-2$.
C. $2$.
D. $3$.
A. $-3$.
B. $-2$.
C. $2$.
D. $3$.
Gọi $G\left( 2;2;-2 \right)$ là trọng tâm tam giác $ABC$, khi đó $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.
Ta có
$M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}$ $={{\left( \overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GM} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GM} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{GC}-\overrightarrow{GM} \right)}^{2}}$ $=G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}+3G{{M}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $G$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$. Khi đó tọa độ của $M\left( a;b;c \right)$ thỏa mãn hệ $\left\{ \begin{aligned}
& a-2b+2c=3 \\
& \dfrac{a-2}{1}=\dfrac{b-2}{-2}=\dfrac{c+2}{2} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=3 \\
& b=0 \\
& c=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $a+b+c=3$.
Ta có
$M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}$ $={{\left( \overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GM} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GM} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{GC}-\overrightarrow{GM} \right)}^{2}}$ $=G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}+3G{{M}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $G$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$. Khi đó tọa độ của $M\left( a;b;c \right)$ thỏa mãn hệ $\left\{ \begin{aligned}
& a-2b+2c=3 \\
& \dfrac{a-2}{1}=\dfrac{b-2}{-2}=\dfrac{c+2}{2} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=3 \\
& b=0 \\
& c=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $a+b+c=3$.
Đáp án D.