Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho $A\left( 0;0;1 \right),B\left( 0;0;9 \right),Q\left( 3;4;6 \right)$. Xét các điểm $M$ thay đổi sao cho tam giác $ABM$ vuông tại $M$ và có diện tích lớn nhất. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $MQ$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 4; 5 \right).$
B. $\left( 3; 4 \right).$
C. $\left( 2; 3 \right).$
D. $\left( 1; 2 \right).$
$\overrightarrow{AB}=\left( 0;0;8 \right)$, $AB=8$.
Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu đường kính $AB$, ta có $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=16$.
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn $\left( S \right)$ $AB\Rightarrow \left( P \right):z-5=0$.
Gọi đường tròn $\left( C \right)=\left( S \right)\cap \left( P \right)=\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=16 \\
& z-5=0 \\
\end{aligned} \right. $, đường tròn $ \left( C \right)$ có bán kính bằng 4.
Tam giác $ABC$ vuông tại $M$ và có diện tích lớn nhất $\Rightarrow M\in \left( C \right)$.
Gọi $T$ là hình chiếu của $Q$ trên $\left( P \right)\Rightarrow T\left( 3;4;5 \right)$.
Ta có $QT=d\left( Q,\left( P \right) \right)=1$, $IT=5$ nên $T$ nằm ngoài $\left( C \right)$.
Lại có $MQ=\sqrt{Q{{T}^{2}}+T{{M}^{2}}}=\sqrt{1+Q{{T}^{2}}}$, nên $MQ$ nhỏ nhất khi $TM$ nhỏ nhất.
Ta có $TM$ nhỏ nhất khi $I,M,T$ thẳng hàng theo thứ tự đó, khi đó $TM=TI-IM=5-4=1$.
Vậy $MQ$ nhỏ nhất bằng $\sqrt{2}$.
A. $\left( 4; 5 \right).$
B. $\left( 3; 4 \right).$
C. $\left( 2; 3 \right).$
D. $\left( 1; 2 \right).$
Gọi $I$ là trung điểm $AB\Rightarrow I\left( 0;0;5 \right)$.$\overrightarrow{AB}=\left( 0;0;8 \right)$, $AB=8$.
Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu đường kính $AB$, ta có $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=16$.
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn $\left( S \right)$ $AB\Rightarrow \left( P \right):z-5=0$.
Gọi đường tròn $\left( C \right)=\left( S \right)\cap \left( P \right)=\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=16 \\
& z-5=0 \\
\end{aligned} \right. $, đường tròn $ \left( C \right)$ có bán kính bằng 4.
Tam giác $ABC$ vuông tại $M$ và có diện tích lớn nhất $\Rightarrow M\in \left( C \right)$.
Gọi $T$ là hình chiếu của $Q$ trên $\left( P \right)\Rightarrow T\left( 3;4;5 \right)$.
Ta có $QT=d\left( Q,\left( P \right) \right)=1$, $IT=5$ nên $T$ nằm ngoài $\left( C \right)$.
Lại có $MQ=\sqrt{Q{{T}^{2}}+T{{M}^{2}}}=\sqrt{1+Q{{T}^{2}}}$, nên $MQ$ nhỏ nhất khi $TM$ nhỏ nhất.
Ta có $TM$ nhỏ nhất khi $I,M,T$ thẳng hàng theo thứ tự đó, khi đó $TM=TI-IM=5-4=1$.
Vậy $MQ$ nhỏ nhất bằng $\sqrt{2}$.
Đáp án D.
