Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm $A\left( 3;-2;3 \right),B\left(...

Gọi I là trung điểm của AB, ta có $I=\left( 2;-1;4 \right)$
Khi đó $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}={{\overrightarrow{MA}}^{2}}+{{\overrightarrow{MB}}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}$
$=2{{\overrightarrow{MI}}^{2}}+{{\overrightarrow{IA}}^{2}}+{{\overrightarrow{IB}}^{2}}+2\overrightarrow{MI.}{{\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB} \right)}^{{}}}=2M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}=M{{I}^{2}}+6$
Do đó $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI có độ dài ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng d.
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua I và vuông góc với đường thẳng d là
$1.\left( x-2 \right)-2.\left( y+1 \right)+2\left( z-4 \right)=0\Leftrightarrow x-2y+2z-12=0$
Phương trình tham số của đường thẳng d là $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=2-2t \\
& z=3+2t \\
\end{aligned} \right.$
Tọa độ điểm M cần tìm là nghiệm $\left( x;y;z \right)$ của hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=2-2t \\
& z=3+2t \\
& x-2y+2z-12=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=0 \\
& z=5 \\
& t=1 \\
\end{aligned} \right. $. Vậy $ M\left( 2;0;5 \right)$.