Trong không gian $Oxy\text{z}$, cho mặt cầu $\left(S\right)$...

Mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm $I(3;2;0)$, bán kính $R=2$.
Vì chúng ta cần đánh giá tổng $KA+2KB$ nên ta tìm điểm $M$ sao cho $KA=2KM$ $\iff {\displaystyle \frac{KA}{KM}}=2$ khi $K$ thay đổi trên $\left(S\right)$.
Ta thấy $IK=R=2$ và $IA=4$ nên ${\displaystyle \frac{IA}{IK}}=2={\displaystyle \frac{KA}{KM}}$.
Xét hai tam giác $IAK$ và $IKM$ đồng dạng với nhau. Do đó trên đoạn $AI$ ta lấy $M$ sao cho $IM=1$. Khi đó hai tam giác $IAK$ và $IKM$ có góc $I$ chung và ${\displaystyle \frac{IA}{IK}}=2={\displaystyle \frac{KA}{KM}}$ nên hai tam giác đồng dạng với nhau.
$\Rightarrow M(2;2;0)$. Khi đó $KA+2KB=2(KM+KB)\ge 2MB$.
Dễ thấy $B$ nằm ngoài mặt cầu $\left(S\right)$ và $M$ nằm trong mặt cầu $\left(S\right)$ nên ta có dấu bằng xảy ra khi $K$ là giao điểm của $MB$ với mặt cầu $\left(S\right)$.
Phương trình $MB$ : $\{\begin{array}{rl}& x=2\\ & y=5+3t\\ & z=0\end{array}$, suy ra $K(2;5+3t;0)$.
$K\in \left(S\right)$ $\Rightarrow 1+{(3+3t)}^2=4$ $\iff t=-1\pm {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$ $\Rightarrow K(2;2-\sqrt{3};0)$ và $\Rightarrow K(2;2+\sqrt{3};0)$.
Do $K$ nằm giữa $B,M$ nên $K(2;2+\sqrt{3};0)$.
Phương trình mặt phẳng $\left(ABK\right)$ là $z=0\Rightarrow a=0,b=0,c=0\Rightarrow a+b+c=0$.