Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxy\text{z}$, cho mặt cầu $\left( S \right)$ : ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=4$ và hai điểm $A\left( -1; 2; 0 \right)$, $B\left( 2; 5; 0 \right)$. Gọi $K$ là điểm thuộc $\left( S \right)$ sao cho $KA+2KB$ nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $K, A, B$ có dạng $ax+by+z+c=0$. Giá trị của $a+b+c$ là
A. $1$.
B. $0$.
C. $2\sqrt{3}$.
D. $3$.
A. $1$.
B. $0$.
C. $2\sqrt{3}$.
D. $3$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 3; 2; 0 \right)$, bán kính $R=2$.
Vì chúng ta cần đánh giá tổng $KA+2KB$ nên ta tìm điểm $M$ sao cho $KA=2KM$ $\Leftrightarrow \dfrac{KA}{KM}=2$ khi $K$ thay đổi trên $\left( S \right)$.
Ta thấy $IK=R=2$ và $IA=4$ nên $\dfrac{IA}{IK}=2=\dfrac{KA}{KM}$.
Xét hai tam giác $IAK$ và $IKM$ đồng dạng với nhau. Do đó trên đoạn $AI$ ta lấy $M$ sao cho $IM=1$. Khi đó hai tam giác $IAK$ và $IKM$ có góc $I$ chung và $\dfrac{IA}{IK}=2=\dfrac{KA}{KM}$ nên hai tam giác đồng dạng với nhau.
$\Rightarrow M\left( 2; 2; 0 \right)$. Khi đó $KA+2KB=2\left( KM+KB \right)\ge 2MB$.
Dễ thấy $B$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$ và $M$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$ nên ta có dấu bằng xảy ra khi $K$ là giao điểm của $MB$ với mặt cầu $\left( S \right)$.
Phương trình $MB$ : $\left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=5+3t \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right. $, suy ra $ K\left( 2; 5+3t; 0 \right)$.
$K\in \left( S \right)$ $\Rightarrow 1+{{\left( 3+3t \right)}^{2}}=4$ $\Leftrightarrow t=-1\pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ $\Rightarrow K\left( 2; 2-\sqrt{3}; 0 \right)$ và $\Rightarrow K\left( 2; 2+\sqrt{3}; 0 \right)$.
Do $K$ nằm giữa $B, M$ nên $K\left( 2; 2+\sqrt{3}; 0 \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( ABK \right)$ là $z=0\Rightarrow a=0,b=0,c=0\Rightarrow a+b+c=0$.
Vì chúng ta cần đánh giá tổng $KA+2KB$ nên ta tìm điểm $M$ sao cho $KA=2KM$ $\Leftrightarrow \dfrac{KA}{KM}=2$ khi $K$ thay đổi trên $\left( S \right)$.
Ta thấy $IK=R=2$ và $IA=4$ nên $\dfrac{IA}{IK}=2=\dfrac{KA}{KM}$.
Xét hai tam giác $IAK$ và $IKM$ đồng dạng với nhau. Do đó trên đoạn $AI$ ta lấy $M$ sao cho $IM=1$. Khi đó hai tam giác $IAK$ và $IKM$ có góc $I$ chung và $\dfrac{IA}{IK}=2=\dfrac{KA}{KM}$ nên hai tam giác đồng dạng với nhau.
$\Rightarrow M\left( 2; 2; 0 \right)$. Khi đó $KA+2KB=2\left( KM+KB \right)\ge 2MB$.
Dễ thấy $B$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$ và $M$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$ nên ta có dấu bằng xảy ra khi $K$ là giao điểm của $MB$ với mặt cầu $\left( S \right)$.
Phương trình $MB$ : $\left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=5+3t \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right. $, suy ra $ K\left( 2; 5+3t; 0 \right)$.
$K\in \left( S \right)$ $\Rightarrow 1+{{\left( 3+3t \right)}^{2}}=4$ $\Leftrightarrow t=-1\pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ $\Rightarrow K\left( 2; 2-\sqrt{3}; 0 \right)$ và $\Rightarrow K\left( 2; 2+\sqrt{3}; 0 \right)$.
Do $K$ nằm giữa $B, M$ nên $K\left( 2; 2+\sqrt{3}; 0 \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( ABK \right)$ là $z=0\Rightarrow a=0,b=0,c=0\Rightarrow a+b+c=0$.
Đáp án B.