Google
Câu hỏi: Trong không gian $O x y z$, cho hai điểm $A(0 ; 2 ; 0)$, điểm $B(1 ; 0 ; 4)$ và đường thẳng $d: \dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-2}{-1}=$ $\dfrac{z-1}{2}$. Điểm $M\left(x_M ; y_M ; z_M\right)$ thuộc đường thẳng $d$ sao cho tam giác $M A B$ có chu vi nhỏ nhất. Biết $x_M=$ $\dfrac{a+b \sqrt{2}}{c}$, với $a, b$ là các số nguyên và $c$ là số nguyên tố, giá trị của $a+b+c$ bằng
A. 8.
B. 14 .
C. 5 .
D. -5 .
A. 8.
B. 14 .
C. 5 .
D. -5 .
Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là $\left\{\begin{array}{l}x=-1+2 t \\ y=2-t \\ z=1+2 t\end{array}\right.$
Điểm $M\left(x_M ; y_M ; z_M\right)$ thuộc đường thẳng $d$ nên $M(-1+2 t ; 2-t ; 1+2 t)$.
$
\begin{aligned}
& A M=\sqrt{(-1+2 t)^2+(-t)^2+(1+2 t)^2}=\sqrt{4 t^2-4 t+1+t^2+1+4 t+4 t^2}=\sqrt{9 t^2+2} \\
& B M=\sqrt{(-2+2 t)^2+(2-t)^2+(2 t-3)^2}=\sqrt{4 t^2-8 t+4+t^2-4 t+4+4 t^2-12 t+9}= \\
& \sqrt{9 t^2-24 t+17} \\
& A B=\sqrt{21}
\end{aligned}
$
Chu vi tam giác $M A B$ là $p=A M+B M+A B=\sqrt{9 t+2^2}+\sqrt{9 t^2-24 t+17}+\sqrt{21}$
Chu vi nhỏ nhất khi $A M+B M$ nhỏ nhất.
$
\begin{aligned}
& \text { Với } t=\dfrac{8-4 \sqrt{2}}{3} \Rightarrow x_M=\dfrac{13-8 \sqrt{2}}{3} \text {, vì } x_M=\dfrac{a+b \sqrt{2}}{c} \text { nên } a=13, b=-8, c=3 \text {. } \\
&
\end{aligned}
$
Khi đó $a+b+c=13-8+3=8$.
Điểm $M\left(x_M ; y_M ; z_M\right)$ thuộc đường thẳng $d$ nên $M(-1+2 t ; 2-t ; 1+2 t)$.
$
\begin{aligned}
& A M=\sqrt{(-1+2 t)^2+(-t)^2+(1+2 t)^2}=\sqrt{4 t^2-4 t+1+t^2+1+4 t+4 t^2}=\sqrt{9 t^2+2} \\
& B M=\sqrt{(-2+2 t)^2+(2-t)^2+(2 t-3)^2}=\sqrt{4 t^2-8 t+4+t^2-4 t+4+4 t^2-12 t+9}= \\
& \sqrt{9 t^2-24 t+17} \\
& A B=\sqrt{21}
\end{aligned}
$
Chu vi tam giác $M A B$ là $p=A M+B M+A B=\sqrt{9 t+2^2}+\sqrt{9 t^2-24 t+17}+\sqrt{21}$
Chu vi nhỏ nhất khi $A M+B M$ nhỏ nhất.
$
\begin{aligned}
& \text { Với } t=\dfrac{8-4 \sqrt{2}}{3} \Rightarrow x_M=\dfrac{13-8 \sqrt{2}}{3} \text {, vì } x_M=\dfrac{a+b \sqrt{2}}{c} \text { nên } a=13, b=-8, c=3 \text {. } \\
&
\end{aligned}
$
Khi đó $a+b+c=13-8+3=8$.
Đáp án A.