Google
Câu hỏi: Trong không gian ${O x y z}$, cho điểm ${E(3 ; 0 ; 5)}$ và hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z}{-1}$ ${d_1\colon\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z}{-1} ; d_2\colon\left\{\begin{array}{l}x= 2+t\\ y= -1+2 t\\z= -3t\end{array}\right. }$. Gọi ${(P)}$ là mặt phẳng đi qua ${E}$, cắt hai đường thẳng ${d_1}$, ${d_2}$ lần lượt tại các điểm ${A}$ và ${B}$ sao cho ${AB=\sqrt{6}}$. Điểm nào dưới đây thuộc ${(P)}$ ?
A. ${M(1 ; 2 ; 3)}$.
B. ${Q(3 ; 2 ;-1)}$.
C. ${P(1 ;-2 ; 3)}$.
D. ${N(2 ;-1 ; 3)}$.
A. ${M(1 ; 2 ; 3)}$.
B. ${Q(3 ; 2 ;-1)}$.
C. ${P(1 ;-2 ; 3)}$.
D. ${N(2 ;-1 ; 3)}$.
Ta có ${{d}_{1}}$ qua ${{M}_{1}}=\left( 2;2;0 \right)$ có VTCP $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;1;-1 \right)$.
${{d}_{2}}$ qua ${{M}_{2}}=\left( 2;-1;0 \right)$ có VTCP $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1;2;-3 \right)$, suy ra $\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=\left( 0;-3;0 \right)$
Mà $\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( -1;2;1 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right].\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=-6\ne 0$ $\Rightarrow d\left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right].\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right] \right|}=\dfrac{6}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}$.
Suy ra mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường vuông góc chung $AB$ của hai đường thẳng chéo nhau ${{d}_{1}}$, ${{d}_{2}}$.
Ta có $\left( P \right)\cap {{d}_{1}}=A=\left( 2+a;2+a;-a \right)$,
$\left( P \right)\cap {{d}_{2}}=B=\left( 2+b;-1+2b;-3b \right)$.
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( -a+b;-3-a+2b;a-3b \right)$, mà $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=0 \\
& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -a+b-3-a+2b-a+3b=0 \\
& -a+b-6-2a+4b-3a+9b=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -3a+6b=3 \\
& -6a+14b=6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-1 \\
& b=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& A\left( 1;1;1 \right) \\
& B\left( 2;-1;0 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}=\left( 1;-2;-1 \right) \\
& \overrightarrow{AE}=\left( 2;-1;4 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AE} \right]=\left( -9;-6;3 \right)=-3\left( 3;2;-1 \right)$.
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( P \right):3x+2y-z=4$.
Ta có $M(1;2;3)\in \left( P \right)$ do $3.1+2.2-3=4$.
${{d}_{2}}$ qua ${{M}_{2}}=\left( 2;-1;0 \right)$ có VTCP $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1;2;-3 \right)$, suy ra $\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=\left( 0;-3;0 \right)$
Mà $\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( -1;2;1 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right].\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=-6\ne 0$ $\Rightarrow d\left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right].\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right] \right|}=\dfrac{6}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}$.
Suy ra mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường vuông góc chung $AB$ của hai đường thẳng chéo nhau ${{d}_{1}}$, ${{d}_{2}}$.
Ta có $\left( P \right)\cap {{d}_{1}}=A=\left( 2+a;2+a;-a \right)$,
$\left( P \right)\cap {{d}_{2}}=B=\left( 2+b;-1+2b;-3b \right)$.
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( -a+b;-3-a+2b;a-3b \right)$, mà $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=0 \\
& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -a+b-3-a+2b-a+3b=0 \\
& -a+b-6-2a+4b-3a+9b=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -3a+6b=3 \\
& -6a+14b=6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-1 \\
& b=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& A\left( 1;1;1 \right) \\
& B\left( 2;-1;0 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}=\left( 1;-2;-1 \right) \\
& \overrightarrow{AE}=\left( 2;-1;4 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AE} \right]=\left( -9;-6;3 \right)=-3\left( 3;2;-1 \right)$.
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( P \right):3x+2y-z=4$.
Ta có $M(1;2;3)\in \left( P \right)$ do $3.1+2.2-3=4$.
Đáp án A.