Trong không gian $O x y z$, cho điểm $A(-3 ; 2 ; 5)$ và mặt phẳng...

Gọi $d$ là đường thẳng qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$.
Đường thẳng $d$ qua $A$, có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_d}=\overrightarrow{n_{(P)}}=(2 ; 3 ;-5)$ nên có phương trình tham số
là: $\left\{\begin{array}{l}x=-3+2 t \\ y=2+3 t \\ z=5-5 t\end{array}\right.$.
Gọi $M=d \cap(P) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}M \in d \\ M \in(P)\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}M(-3+2 t ; 2+3 t ; 5-5 t) \\ 2(-3+2 t)+3(2+3 t)-5(5-5 t)-13=0\end{array}\right.\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}M(-3+2 t ; 2+3 t ; 5-5 t) \Leftrightarrow M(-1 ; 5 ; 0) \\ t=1\end{array}\right.$
Điểm $A^{\prime}$ đối xứng với điểm $A$ qua mặt phẳng $(P)$ nên $M$ là trung điểm của $A A^{\prime}$
Do đó $\left\{\begin{array}{l}x_{A^{\prime}}=2 x_M-x_A \\ y_{A^{\prime}}=2 y_M-y_A \\ z_{A^{\prime}}=2 z_M-z_A\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_{A^{\prime}}=1 \\ y_{A^{\prime}}=8 \\ z_{A^{\prime}}=-5\end{array} \Rightarrow A^{\prime}(1 ; 8 ;-5)\right.\right.$.