Google
Câu hỏi: Trong không gian cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$ với $AB=BC=1, AD=2,$ cạnh bên $SA=1$ và $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $E$ là trung điểm của $AD.$ Tính diện tích ${{S}_{mc}}$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.CDE.$
A. ${{S}_{mc}}=11\pi .$
B. ${{S}_{mc}}=5\pi .$
C. ${{S}_{mc}}=2\pi .$
D. ${{S}_{mc}}=3\pi .$
A. ${{S}_{mc}}=11\pi .$
B. ${{S}_{mc}}=5\pi .$
C. ${{S}_{mc}}=2\pi .$
D. ${{S}_{mc}}=3\pi .$
Chọn hệ tọa độ $Oxyz$ với $A\left( 0;0;0 \right), B\left( 1;0;0 \right), D\left( 0;2;0 \right)$ và $S\left( 0;0;1 \right)$
Vì $E$ là trung điểm $AD\Rightarrow ABCE$ là hình vuông $\Rightarrow E\left( 0;1;0 \right), C\left( 1;1;0 \right)$
Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu tâm $I$ đi qua bốn điểm $S, C, D, E\Rightarrow SI=IE$
Gọi $M$ là trung điểm của $CD\Rightarrow M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta CDE$
Phương trình đường thẳng $d$ qua $M,$ vuông góc $\left( CDE \right)$ là$$
Vì $I\in d\Rightarrow I\left( \frac{1}{2};\frac{3}{2};t \right)$ mà $SI=IE\Rightarrow {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( t-1 \right)}^{2}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{t}^{2}}\Rightarrow t=\frac{3}{2}$
Do đó $I\left( \frac{1}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2} \right)$ $\Rightarrow $ bán kính mặt cầu $R=SI=\frac{\sqrt{11}}{2}\xrightarrow{{}}S=4\pi {{R}^{2}}=11\pi .$
Vì $E$ là trung điểm $AD\Rightarrow ABCE$ là hình vuông $\Rightarrow E\left( 0;1;0 \right), C\left( 1;1;0 \right)$
Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu tâm $I$ đi qua bốn điểm $S, C, D, E\Rightarrow SI=IE$
Gọi $M$ là trung điểm của $CD\Rightarrow M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta CDE$
Phương trình đường thẳng $d$ qua $M,$ vuông góc $\left( CDE \right)$ là$$
Vì $I\in d\Rightarrow I\left( \frac{1}{2};\frac{3}{2};t \right)$ mà $SI=IE\Rightarrow {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( t-1 \right)}^{2}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{t}^{2}}\Rightarrow t=\frac{3}{2}$
Do đó $I\left( \frac{1}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2} \right)$ $\Rightarrow $ bán kính mặt cầu $R=SI=\frac{\sqrt{11}}{2}\xrightarrow{{}}S=4\pi {{R}^{2}}=11\pi .$
Đáp án A.