Trong không gian cho ba điểm $A\left( 2;3;1 \right),B\left( -1;2;0...

Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ qua A nhận vectơ $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right]=\left( 1;-8;5 \right)$ làm vectơ pháp tuyến là $x-8y+5z+17=0.$
Phương trình mặt phẳng qua A nhận vectơ $\overrightarrow{BC}$ làm vectơ pháp tuyến là
$2x-y-2z+1=0.$
Phương trình mặt phẳng qua B nhận vectơ $\overrightarrow{AC}$ làm vectơ pháp tuyến là
$-x-2y-3z+3=0.$
Gọi $H\left( x;y;z \right)$ là trực tâm của tam giác, khi đó tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình
$\left\{ \begin{matrix}
x-8y+5z+17=0 \\
2x-y-2z+1=0 \\
-x-2y-3z+3=0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x=\dfrac{2}{15} \\
y=\dfrac{29}{15} \\
z=-\dfrac{1}{3} \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow H\left( \dfrac{2}{15};\dfrac{29}{15};-\dfrac{1}{3} \right). $Vậy$ OH=\dfrac{\sqrt{870}}{15}.$