Trong không gain Oxyz, cho đường thẳng...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Trong không gain Oxyz, cho đường thẳng

d : \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 2}{- 1}

. Gọi

(α)

là mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng

(O x y)

một góc nhỏ nhất. Khoảng cách từ

M (0; 3; - 4)

đến mặt phẳng

(α)

bằng
A.

\sqrt{30}

B.

2 \sqrt{6}

C.

\sqrt{20}

D.

\sqrt{35}

Có góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng

(O x y)

là

\hat{(d; (O x y))}

Góc tạo bởi mặt phẳng

(α)

và mặt phẳng

(O x y)

là

\hat{((α); (O x y))}

.
Ta có

\hat{(d; (O x y))} \leq \hat{((α); (O x y))} \Rightarrow {\hat{((α); (O x y))}}_{min} \Leftrightarrow \hat{(d; (O x y))} = \hat{((α); (O x y))}

\sin \hat{(d, (α))} = \frac{| \vec{u_{d}} . \vec{k} |}{| \vec{u_{d}} | . | \vec{k} |} = \frac{1}{\sqrt{6}} \Rightarrow \cos \hat{(d, (α))} = \frac{\sqrt{30}}{6}

Gọi véctơ pháp tuyến của

(α)

là

\vec{n} = (a; b; c), a^{2} + b^{2} + c^{2} \neq 0

Vì

d \subset (α) \Rightarrow \vec{u} ⊥ \vec{n} \Rightarrow 2 a - b - c = 0 \Rightarrow c = 2 a - b

\cos \hat{((O x y), (α))} = \frac{| \vec{n} . \vec{k} |}{| \vec{n} | . | \vec{k} |} = \frac{| 2 a - b |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + {(2 a - b)}^{2}}} = \frac{\sqrt{30}}{6}

\Leftrightarrow 36 (4 a^{2} - 4 a b + b^{2}) = 30 (5 a^{2} - 4 a b + 2 b^{2})

\Leftrightarrow 6 a^{2} + 24 a b + 24 b^{2} = 0 \Leftrightarrow 6 {(a + 2 b)}^{2} = 0 \Leftrightarrow a = - 2 b

Chọn

\vec{n} = (2; - 1; 5)

.
Vậy

(α)

đi qua

A (- 1; 1; 2) \in d

và có véctơ pháp tuyến

\vec{n} = (2; - 1; 5) \Rightarrow (α) : 2 x - y + 5 z - 7 = 0

.
Ta có:

d_{(M, (α))} = \frac{30}{\sqrt{30}} = \sqrt{30}

.

Đáp án A.