Google
Câu hỏi: Trong không gain Oxyz, cho đường thẳng $d:\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-2}{-1}$. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ một góc nhỏ nhất. Khoảng cách từ $M\left( 0;3;-4 \right)$ đến mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ bằng
A. $\sqrt{30}$
B. $2\sqrt{6}$
C. $\sqrt{20}$
D. $\sqrt{35}$
A. $\sqrt{30}$
B. $2\sqrt{6}$
C. $\sqrt{20}$
D. $\sqrt{35}$
Có góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ là $\widehat{\left( d;(Oxy) \right)}$
Góc tạo bởi mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ là $\widehat{\left( (\alpha );(Oxy) \right)}$.
Ta có $\widehat{\left( d;(Oxy) \right)}\le \widehat{\left( (\alpha );(Oxy) \right)}\Rightarrow {{\widehat{\left( (\alpha );(Oxy) \right)}}_{\min }}\Leftrightarrow \widehat{\left( d;(Oxy) \right)}=\widehat{\left( (\alpha );(Oxy) \right)}$
$\sin \widehat{\left( d,(\alpha ) \right)}=\dfrac{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{k} \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|.\left| \overrightarrow{k} \right|}=\dfrac{1}{\sqrt{6}}\Rightarrow \cos \widehat{\left( d,(\alpha ) \right)}=\dfrac{\sqrt{30}}{6}$
Gọi véctơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$ là $\overrightarrow{n}=\left( a;b;c \right),{{\text{a}}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0$
Vì $d\subset \left( \alpha \right)\Rightarrow \overrightarrow{u}\bot \overrightarrow{n}\Rightarrow 2\text{a}-b-c=0\Rightarrow c=2\text{a}-b$
$\cos \widehat{\left( (Oxy),(\alpha ) \right)}=\dfrac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{k} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|.\left| \overrightarrow{k} \right|}=\dfrac{\left| 2a-b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( 2a-b \right)}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{30}}{6}$
$\Leftrightarrow 36\left( 4{{a}^{2}}-4ab+{{b}^{2}} \right)=30\left( 5{{a}^{2}}-4ab+2{{b}^{2}} \right)$
$\Leftrightarrow 6{{a}^{2}}+24ab+24{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow 6{{\left( a+2b \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow a=-2b$
Chọn $\overrightarrow{n}=\left( 2;-1;5 \right)$.
Vậy $\left( \alpha \right)$ đi qua $A\left( -1;1;2 \right)\in \text{d}$ và có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 2;-1;5 \right)\Rightarrow \left( \alpha \right):2\text{x}-y+5\text{z}-7=0$.
Ta có: ${{d}_{\left( M,(\alpha ) \right)}}=\dfrac{30}{\sqrt{30}}=\sqrt{30}$.
Góc tạo bởi mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ là $\widehat{\left( (\alpha );(Oxy) \right)}$.
Ta có $\widehat{\left( d;(Oxy) \right)}\le \widehat{\left( (\alpha );(Oxy) \right)}\Rightarrow {{\widehat{\left( (\alpha );(Oxy) \right)}}_{\min }}\Leftrightarrow \widehat{\left( d;(Oxy) \right)}=\widehat{\left( (\alpha );(Oxy) \right)}$
$\sin \widehat{\left( d,(\alpha ) \right)}=\dfrac{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{k} \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|.\left| \overrightarrow{k} \right|}=\dfrac{1}{\sqrt{6}}\Rightarrow \cos \widehat{\left( d,(\alpha ) \right)}=\dfrac{\sqrt{30}}{6}$
Gọi véctơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$ là $\overrightarrow{n}=\left( a;b;c \right),{{\text{a}}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0$
Vì $d\subset \left( \alpha \right)\Rightarrow \overrightarrow{u}\bot \overrightarrow{n}\Rightarrow 2\text{a}-b-c=0\Rightarrow c=2\text{a}-b$
$\cos \widehat{\left( (Oxy),(\alpha ) \right)}=\dfrac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{k} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|.\left| \overrightarrow{k} \right|}=\dfrac{\left| 2a-b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( 2a-b \right)}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{30}}{6}$
$\Leftrightarrow 36\left( 4{{a}^{2}}-4ab+{{b}^{2}} \right)=30\left( 5{{a}^{2}}-4ab+2{{b}^{2}} \right)$
$\Leftrightarrow 6{{a}^{2}}+24ab+24{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow 6{{\left( a+2b \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow a=-2b$
Chọn $\overrightarrow{n}=\left( 2;-1;5 \right)$.
Vậy $\left( \alpha \right)$ đi qua $A\left( -1;1;2 \right)\in \text{d}$ và có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 2;-1;5 \right)\Rightarrow \left( \alpha \right):2\text{x}-y+5\text{z}-7=0$.
Ta có: ${{d}_{\left( M,(\alpha ) \right)}}=\dfrac{30}{\sqrt{30}}=\sqrt{30}$.
Đáp án A.