Google
Câu hỏi: Trong hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\left( P \right):x+4y-2z-6=0,\ \left( Q \right):x-2y+4z-6=0$. Lập phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa giao tuyến của $\left( P \right),\left( Q \right)$ và cắt các trục tọa độ tại các điểm $A,B,C$ sao cho $O.ABC$ là hình chóp đều.
A. $x+y+z-6=0$
B. $x+y-z-6=0$
C. $x+y+z-3=0$
D. $x+y+z+6=0$
A. $x+y+z-6=0$
B. $x+y-z-6=0$
C. $x+y+z-3=0$
D. $x+y+z+6=0$
Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& x+4y-2z-6=0 \\
& x-2y+4z-6=0 \\
\end{aligned} \right. $ có các nghiệm $ \left( 6;0;0 \right),\left( 0;3;3 \right)\Rightarrow $ giao tuyến $ d $ của $ \left( P \right),\left( Q \right) $ đi qua 2 điểm $ \left( 6;0;0 \right),\left( 0;3;3 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 6;-3;-3 \right)=3\left( 2;-1;-1 \right)\Rightarrow d:\dfrac{x-6}{2}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z}{-1}$.
Gọi $A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right),C\left( 0;0;c \right)\Rightarrow \left( ABC \right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1\left( a,b,c\ne 0 \right)$.
Để $O.ABC$ là hình chóp đều thì $\left| a \right|=\left| b \right|=\left| c \right|$.
Mặt khác $d\subset \left( ABC \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{\left( ABC \right)}}}=0\Leftrightarrow \dfrac{2}{a}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}=0$ và $\left( ABC \right)$ đi qua điểm $\left( 6;0;0 \right)$ nên $\dfrac{6}{a}=1\Leftrightarrow a=6$.
Giải hệ $\left\{ \begin{aligned}
& a=6 \\
& \left| b \right|=\left| c \right|=6 \\
& \dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{2}{a}=\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow b=c=6\Rightarrow \left( ABC \right):\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{6}=1 $ hay $ x+y+z-6=0$.
& x+4y-2z-6=0 \\
& x-2y+4z-6=0 \\
\end{aligned} \right. $ có các nghiệm $ \left( 6;0;0 \right),\left( 0;3;3 \right)\Rightarrow $ giao tuyến $ d $ của $ \left( P \right),\left( Q \right) $ đi qua 2 điểm $ \left( 6;0;0 \right),\left( 0;3;3 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 6;-3;-3 \right)=3\left( 2;-1;-1 \right)\Rightarrow d:\dfrac{x-6}{2}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z}{-1}$.
Gọi $A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right),C\left( 0;0;c \right)\Rightarrow \left( ABC \right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1\left( a,b,c\ne 0 \right)$.
Để $O.ABC$ là hình chóp đều thì $\left| a \right|=\left| b \right|=\left| c \right|$.
Mặt khác $d\subset \left( ABC \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{\left( ABC \right)}}}=0\Leftrightarrow \dfrac{2}{a}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}=0$ và $\left( ABC \right)$ đi qua điểm $\left( 6;0;0 \right)$ nên $\dfrac{6}{a}=1\Leftrightarrow a=6$.
Giải hệ $\left\{ \begin{aligned}
& a=6 \\
& \left| b \right|=\left| c \right|=6 \\
& \dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{2}{a}=\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow b=c=6\Rightarrow \left( ABC \right):\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{6}=1 $ hay $ x+y+z-6=0$.
Đáp án A.