Google
Câu hỏi: Trong hệ tọa độ không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{-3}=\dfrac{y+5}{-2}=\dfrac{z-12}{10}$ và hai mặt cầu có phương trình lần lượt là $\left( {{S}_{1}} \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=2$ và $\left( {{S}_{2}} \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+4 \right)}^{2}}=5$. Biết rằng $\left( {{S}_{1}} \right)$, $\left( {{S}_{2}} \right)$ cắt nhau theo một đường tròn (C) và điểm M(a; b; c) thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d là nhỏ nhất. Tính a + b + c.
A. 1.
B. 0.
C. -1.
D. 2.
A. 1.
B. 0.
C. -1.
D. 2.
Mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ có tâm ${{I}_{1}}\left( 1;2;-2 \right)$, bán kính ${{R}_{1}}=\sqrt{2};\left( {{S}_{2}} \right)$ có tâm ${{I}_{2}}\left( 3;1;-4 \right)$, bán kính ${{R}_{2}}=\sqrt{5}$. Vì $\left( {{S}_{1}} \right),\left( {{S}_{2}} \right)$ cắt nhau theo một đường tròn (C) nên phưong trình mặt phẳng (P) chứa (C) là
$\begin{aligned}
& \left( P \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}-{{\left( x-3 \right)}^{2}}-{{\left( y-1 \right)}^{2}}-{{\left( z+4 \right)}^{2}}=2-5 \\
& \Leftrightarrow 2x-y-2z-7=0. \\
\end{aligned}$
Đường thẳng ${{I}_{1}}{{I}_{2}}$ có phương trình: $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=2-t \\
& z=-2-2t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right).$
Gọi H là tâm đường tròn (C) thì $H={{I}_{1}}{{I}_{2}}\cap \left( P \right)\Rightarrow H\left( \dfrac{5}{3};\dfrac{5}{3};-\dfrac{8}{3} \right).$
Đường thẳng (d) đi qua điểm A(l; -5; 12) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 3;2;-10 \right)$.
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa tâm ${{I}_{1}}$ và đường thẳng d. Ta có $\overrightarrow{A{{I}_{1}}}=\left( 0;7;-14 \right)$, suy ra $\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left[ \overrightarrow{A{{I}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=\left( -42;-42;-21 \right)$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{n}=\left( 2;2;1 \right)$.
$\Rightarrow \left( Q \right):2x+2y+z-4=0.$. Ta thấy ${{I}_{2}}\left( 3;1;-4 \right)\in \left( Q \right)$ nên ${{I}_{1}}{{I}_{2}},d$ đồng phẳng.
Gọi E là giao điểm của d và (P), suy ra E(4; -3; 2). Ta có ${{I}_{1}}H=d\left( {{I}_{1}};\left( P \right) \right)=1.$
Bán kính đường tròn (C) là $r=\sqrt{R_{1}^{2}-{{I}_{1}}{{H}^{2}}}=\sqrt{2-1}=1=HM.$
Ta có $EH=\sqrt{{{\left( \dfrac{5}{3}-4 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{5}{3}+3 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{-8}{3}-2 \right)}^{2}}}=7$
Gọi $M=EH\cap \left( C \right)$ (M nằm giữa H và E), lấy một điểm $B\in \left( C \right)$. Gọi (C) là hình chiếu của B trên d, N là hình chiếu của M trên d. Gọi F là hình chiếu của B trên $HE\Rightarrow BF\bot \left( HEC \right)\Rightarrow BF\bot d\Rightarrow d\bot \left( BFC \right)\Rightarrow d\bot FC\Rightarrow FC//MN$ và FC > MN.
Lại có $\Delta FBC$ vuông tại F nên $CF\le BC$. Vậy $MN<CF\le BC$ nên MN là khoảng cách ngắn nhất từ điểm M đến đường thẳng d.
Ta có $HM=1,HE=7$ và $\overrightarrow{HM},\overrightarrow{HE}$ là hai vectơ cùng hướng nên $\overrightarrow{HE}=7\overrightarrow{HM}$.
Mà $\overrightarrow{HE}=\left( \dfrac{7}{3};-\dfrac{14}{3};\dfrac{14}{3} \right),\overrightarrow{HM}=\left( a-\dfrac{5}{3};b-\dfrac{5}{3};c+\dfrac{8}{3} \right)$ nên ta có hệ:
$\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{7}{3}=7\left( a-\dfrac{5}{3} \right) \\
& -\dfrac{14}{3}=7\left( b-\dfrac{5}{3} \right) \\
& \dfrac{14}{3}=7\left( c+\dfrac{8}{3} \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& b=1 \\
& c=-2 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy $a+b+c=1.$
$\begin{aligned}
& \left( P \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}-{{\left( x-3 \right)}^{2}}-{{\left( y-1 \right)}^{2}}-{{\left( z+4 \right)}^{2}}=2-5 \\
& \Leftrightarrow 2x-y-2z-7=0. \\
\end{aligned}$
Đường thẳng ${{I}_{1}}{{I}_{2}}$ có phương trình: $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=2-t \\
& z=-2-2t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right).$
Gọi H là tâm đường tròn (C) thì $H={{I}_{1}}{{I}_{2}}\cap \left( P \right)\Rightarrow H\left( \dfrac{5}{3};\dfrac{5}{3};-\dfrac{8}{3} \right).$
Đường thẳng (d) đi qua điểm A(l; -5; 12) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 3;2;-10 \right)$.
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa tâm ${{I}_{1}}$ và đường thẳng d. Ta có $\overrightarrow{A{{I}_{1}}}=\left( 0;7;-14 \right)$, suy ra $\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left[ \overrightarrow{A{{I}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=\left( -42;-42;-21 \right)$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{n}=\left( 2;2;1 \right)$.
$\Rightarrow \left( Q \right):2x+2y+z-4=0.$. Ta thấy ${{I}_{2}}\left( 3;1;-4 \right)\in \left( Q \right)$ nên ${{I}_{1}}{{I}_{2}},d$ đồng phẳng.
Gọi E là giao điểm của d và (P), suy ra E(4; -3; 2). Ta có ${{I}_{1}}H=d\left( {{I}_{1}};\left( P \right) \right)=1.$
Bán kính đường tròn (C) là $r=\sqrt{R_{1}^{2}-{{I}_{1}}{{H}^{2}}}=\sqrt{2-1}=1=HM.$
Ta có $EH=\sqrt{{{\left( \dfrac{5}{3}-4 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{5}{3}+3 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{-8}{3}-2 \right)}^{2}}}=7$
Gọi $M=EH\cap \left( C \right)$ (M nằm giữa H và E), lấy một điểm $B\in \left( C \right)$. Gọi (C) là hình chiếu của B trên d, N là hình chiếu của M trên d. Gọi F là hình chiếu của B trên $HE\Rightarrow BF\bot \left( HEC \right)\Rightarrow BF\bot d\Rightarrow d\bot \left( BFC \right)\Rightarrow d\bot FC\Rightarrow FC//MN$ và FC > MN.
Lại có $\Delta FBC$ vuông tại F nên $CF\le BC$. Vậy $MN<CF\le BC$ nên MN là khoảng cách ngắn nhất từ điểm M đến đường thẳng d.
Ta có $HM=1,HE=7$ và $\overrightarrow{HM},\overrightarrow{HE}$ là hai vectơ cùng hướng nên $\overrightarrow{HE}=7\overrightarrow{HM}$.
Mà $\overrightarrow{HE}=\left( \dfrac{7}{3};-\dfrac{14}{3};\dfrac{14}{3} \right),\overrightarrow{HM}=\left( a-\dfrac{5}{3};b-\dfrac{5}{3};c+\dfrac{8}{3} \right)$ nên ta có hệ:
$\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{7}{3}=7\left( a-\dfrac{5}{3} \right) \\
& -\dfrac{14}{3}=7\left( b-\dfrac{5}{3} \right) \\
& \dfrac{14}{3}=7\left( c+\dfrac{8}{3} \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& b=1 \\
& c=-2 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy $a+b+c=1.$
Đáp án A.