Google
Câu hỏi: Trong đợt hội trai được tổ chức tại trường THPT A, Đoàn trường có thực hiện một dự án ảnh trưng bày trên một pano có dạng Parabol như hình vẽ. Biết rằng Đoàn trường sẽ yêu cầu các lớp gửi hình dự thi và dán lên khu vực hình chữ nhật $ABCD$, phần còn lại sẽ được trang trí hoa văn cho phù hợp. Chi phí dán hoa văn là 100.000 đồng cho $1 {{\text{m}}^{\text{2}}}$ bẳng. Hỏi chi phí thấp nhất cho việc hoàn tất hoa văn trên pano sẽ là bao nhiêu (làm tròn đến hàng nghìn)?
A. $616.000$ (đồng).
B. $450.000$ (đồng).
C. $615.000$ (đồng).
D. $451.000$.(đồng).
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ bên. Giả sử $\left( P \right)$ $y=a{{x}^{2}}+bx+c$
Khi đó $\left( P \right)$ đi qua ba điểm $E\left( 0;4 \right)$, $F\left( 2;0 \right)$, $G\left( -2;0 \right)$
Ta suy ra: $a=-1$, $b=0$, $c=4$ $\Rightarrow \left( P \right)$ : $y=-{{x}^{2}}+4$
Để chi phí cho việc dán hoa văn trên pano là thấp nhất thì cần diện tích dán hoa văn là nhỏ nhất, do đó diện tích hình chữ nhật dùng để dán ảnh là lớn nhất.
Gọi đoạn $OC=x \left( \text{m} \right)$, $CD=2x$, $x\in \left( 0;2 \right)$ $\Rightarrow $ $C\left( x;0 \right)$ $\Rightarrow $ $B\left( x;-{{x}^{2}}+4 \right)$ $\Rightarrow $ $BC=-{{x}^{2}}+4$.
Vậy ${{S}_{ABCD}}=CD.BC=2x.\left( -{{x}^{2}}+4 \right)=-2{{x}^{3}}+8x$, $x\in \left( 0;2 \right)$.
Ta xét hàm $f\left( x \right)=-2{{x}^{3}}+8x$
Ta có: ${y}'=-6{{x}^{2}}+8$, ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$
Bảng biến thiên
Theo BBT, $\max {{S}_{ABCD}}=\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( \dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)=\dfrac{32\sqrt{3}}{9} \left( {{\text{m}}^{\text{2}}} \right)$.
Diện tích giới hạn bởi Parabol: ${{S}_{Parabol}}=\int\limits_{-2}^{2}{\left( 4-{{x}^{2}} \right)\text{d}x}=\dfrac{32}{3}$.
Do đó diện tích dán hoa văn cần: $S={{S}_{P\text{ar}abol}}-{{S}_{ABCD}}=\dfrac{96-32\sqrt{3}}{9}\approx 4,51 \left( {{\text{m}}^{\text{2}}} \right)$.
Vậy chi phí cho việc dán hoa văn trên pano là: ${{4,51.10}^{5}}=451.000$ (đồng).
B. $450.000$ (đồng).
C. $615.000$ (đồng).
D. $451.000$.(đồng).
Khi đó $\left( P \right)$ đi qua ba điểm $E\left( 0;4 \right)$, $F\left( 2;0 \right)$, $G\left( -2;0 \right)$
Ta suy ra: $a=-1$, $b=0$, $c=4$ $\Rightarrow \left( P \right)$ : $y=-{{x}^{2}}+4$
Để chi phí cho việc dán hoa văn trên pano là thấp nhất thì cần diện tích dán hoa văn là nhỏ nhất, do đó diện tích hình chữ nhật dùng để dán ảnh là lớn nhất.
Gọi đoạn $OC=x \left( \text{m} \right)$, $CD=2x$, $x\in \left( 0;2 \right)$ $\Rightarrow $ $C\left( x;0 \right)$ $\Rightarrow $ $B\left( x;-{{x}^{2}}+4 \right)$ $\Rightarrow $ $BC=-{{x}^{2}}+4$.
Vậy ${{S}_{ABCD}}=CD.BC=2x.\left( -{{x}^{2}}+4 \right)=-2{{x}^{3}}+8x$, $x\in \left( 0;2 \right)$.
Ta xét hàm $f\left( x \right)=-2{{x}^{3}}+8x$
Ta có: ${y}'=-6{{x}^{2}}+8$, ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$
Bảng biến thiên
Diện tích giới hạn bởi Parabol: ${{S}_{Parabol}}=\int\limits_{-2}^{2}{\left( 4-{{x}^{2}} \right)\text{d}x}=\dfrac{32}{3}$.
Do đó diện tích dán hoa văn cần: $S={{S}_{P\text{ar}abol}}-{{S}_{ABCD}}=\dfrac{96-32\sqrt{3}}{9}\approx 4,51 \left( {{\text{m}}^{\text{2}}} \right)$.
Vậy chi phí cho việc dán hoa văn trên pano là: ${{4,51.10}^{5}}=451.000$ (đồng).
Đáp án D.