Google
Câu hỏi: Trong các số phức $z$ thỏa mãn $\left| {{z}^{2}}+1 \right|=2\left| z \right|$. Gọi ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$ lần lượt là các số phức có môđun nhỏ nhất và lớn nhất. Khi đó môđun của số phức $w={{z}_{1}}+{{z}_{2}}$ là
A. $\left| w \right|=2$.
B. $\left| w \right|=\sqrt{2}$.
C. $\left| w \right|=2\sqrt{2}$.
D. $\left| w \right|=1+\sqrt{2}$.
A. $\left| w \right|=2$.
B. $\left| w \right|=\sqrt{2}$.
C. $\left| w \right|=2\sqrt{2}$.
D. $\left| w \right|=1+\sqrt{2}$.
Ta có: $\left| {{z}^{2}}+1 \right|=2\left| z \right|\Leftrightarrow \left| z+\dfrac{1}{z} \right|=2\Leftrightarrow {{\left| z+\dfrac{1}{z} \right|}^{2}}=4$
$\Leftrightarrow \left( z+\dfrac{1}{z} \right)\left( \overline{z}+\dfrac{1}{\overline{z}} \right)=4\Leftrightarrow {{\left| z \right|}^{2}}+\dfrac{{{z}^{2}}+{{\overline{z}}^{2}}}{{{\left| z \right|}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left| z \right|}^{2}}}=4$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{\left| z \right|}^{4}}+{{\left( z+\overline{z} \right)}^{2}}-2{{\left| z \right|}^{2}}+1}{{{\left| z \right|}^{2}}}=4\Leftrightarrow {{\left| z \right|}^{4}}-6{{\left| z \right|}^{2}}+1=-{{\left( z+\overline{z} \right)}^{2}}\le 0$
$\Leftrightarrow {{\left| z \right|}^{4}}-6{{\left| z \right|}^{2}}+1\le 0$ nên $\left| z \right|\ge -1+\sqrt{2},\left| z \right|\le 1+\sqrt{2}$
Do đó $\max \left| z \right|=1+\sqrt{2};\min \left| z \right|=-1+\sqrt{2}$
Dấu bằng xảy ra khi $z+\overline{z}=0\Rightarrow z$ là số ảo.
Khi đó ${{z}_{1}}=\left( -1+\sqrt{2} \right)i,{{z}_{2}}=\left( 1+\sqrt{2} \right)i\Rightarrow w=2\sqrt{2}i\Rightarrow \left| w \right|=2\sqrt{2}$.
Số phức liên hợp của số phức $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ là $\overline{z}=a-bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$.
Bài toán đưa về hàm số của $\left| z \right|$.
$\Leftrightarrow \left( z+\dfrac{1}{z} \right)\left( \overline{z}+\dfrac{1}{\overline{z}} \right)=4\Leftrightarrow {{\left| z \right|}^{2}}+\dfrac{{{z}^{2}}+{{\overline{z}}^{2}}}{{{\left| z \right|}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left| z \right|}^{2}}}=4$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{\left| z \right|}^{4}}+{{\left( z+\overline{z} \right)}^{2}}-2{{\left| z \right|}^{2}}+1}{{{\left| z \right|}^{2}}}=4\Leftrightarrow {{\left| z \right|}^{4}}-6{{\left| z \right|}^{2}}+1=-{{\left( z+\overline{z} \right)}^{2}}\le 0$
$\Leftrightarrow {{\left| z \right|}^{4}}-6{{\left| z \right|}^{2}}+1\le 0$ nên $\left| z \right|\ge -1+\sqrt{2},\left| z \right|\le 1+\sqrt{2}$
Do đó $\max \left| z \right|=1+\sqrt{2};\min \left| z \right|=-1+\sqrt{2}$
Dấu bằng xảy ra khi $z+\overline{z}=0\Rightarrow z$ là số ảo.
Khi đó ${{z}_{1}}=\left( -1+\sqrt{2} \right)i,{{z}_{2}}=\left( 1+\sqrt{2} \right)i\Rightarrow w=2\sqrt{2}i\Rightarrow \left| w \right|=2\sqrt{2}$.
Note 27: Phương pháp chung
$\left| z.{z}' \right|=\left| z \right|.\left| {{z}'} \right|$.Số phức liên hợp của số phức $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ là $\overline{z}=a-bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$.
Bài toán đưa về hàm số của $\left| z \right|$.
Đáp án C.