Google
Câu hỏi: Trên tập số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}+az+\dfrac{5}{4}{{a}^{2}}=0$ (với $a$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $a$ để phương trình đã cho có hai nghiệm là ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ sao cho các điểm biểu diễn số phức ${{z}_{0}}=1-i,{{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là ba đỉnh của một tam giác có diện tích nhỏ hơn 4?
A. $5$.
B. $6$.
C. $3$.
D. $4$.
A. $5$.
B. $6$.
C. $3$.
D. $4$.
Ta có $\Delta =-5{{a}^{2}}\le 0$, phương trình có hai nghiệm ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ khi và chỉ khi $a\ne 0$.
Khi đó ta gọi ${{z}_{1}}=m+ni;{{z}_{2}}=m-ni$ với $m,n\in \mathbb{R}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=2m \\
& {{z}_{1}}{{z}_{2}}={{m}^{2}}+{{n}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -a=2m \\
& \dfrac{5}{4}{{a}^{2}}={{m}^{2}}+{{n}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=-\dfrac{1}{2}a \\
& {{n}^{2}}={{a}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi $A\left( 1;-1 \right),B\left( m;n \right),C\left( m;-n \right)$ với $m,n\ne 0$ là 3 điểm biểu diễn cho ${{z}_{0}},{{z}_{1}},{{z}_{2}}$.
Ta có VTCP $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{CB}=\left( 0;2n \right)$ suy ra VTPT $\overrightarrow{n}=\left( 2n;0 \right)=2\left( n;0 \right)$.
Phương trình đường thẳng $BC:n\left( x-m \right)=0\Rightarrow x-m=0\Leftrightarrow x+\dfrac{1}{2}a=0\Leftrightarrow 2x+a=0$.
Ta có $d\left( A,BC \right)=\dfrac{\left| a+2 \right|}{2}$ và $BC=2\sqrt{{{n}^{2}}}=2\sqrt{{{a}^{2}}}=2\left| a \right|$.
Diện tích tam giác ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}.BC.d\left( A,BC \right)=\dfrac{1}{2}.2\left| a \right|.\dfrac{\left| a+2 \right|}{2}<4\Leftrightarrow \left| a \right|.\left| a+2 \right|<8$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}\left( {{a}^{2}}+4a+4 \right)<64\Leftrightarrow {{a}^{4}}+4{{a}^{3}}+4{{a}^{2}}-64<0\Rightarrow -4<a<2$.
Kết hợp với điều kiện $a\ne 0$ ta suy ra có $4$ giá trị nguyên của $a$ là: $-3;-2;-1;1$.
Khi đó ta gọi ${{z}_{1}}=m+ni;{{z}_{2}}=m-ni$ với $m,n\in \mathbb{R}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=2m \\
& {{z}_{1}}{{z}_{2}}={{m}^{2}}+{{n}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -a=2m \\
& \dfrac{5}{4}{{a}^{2}}={{m}^{2}}+{{n}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=-\dfrac{1}{2}a \\
& {{n}^{2}}={{a}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi $A\left( 1;-1 \right),B\left( m;n \right),C\left( m;-n \right)$ với $m,n\ne 0$ là 3 điểm biểu diễn cho ${{z}_{0}},{{z}_{1}},{{z}_{2}}$.
Ta có VTCP $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{CB}=\left( 0;2n \right)$ suy ra VTPT $\overrightarrow{n}=\left( 2n;0 \right)=2\left( n;0 \right)$.
Phương trình đường thẳng $BC:n\left( x-m \right)=0\Rightarrow x-m=0\Leftrightarrow x+\dfrac{1}{2}a=0\Leftrightarrow 2x+a=0$.
Ta có $d\left( A,BC \right)=\dfrac{\left| a+2 \right|}{2}$ và $BC=2\sqrt{{{n}^{2}}}=2\sqrt{{{a}^{2}}}=2\left| a \right|$.
Diện tích tam giác ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}.BC.d\left( A,BC \right)=\dfrac{1}{2}.2\left| a \right|.\dfrac{\left| a+2 \right|}{2}<4\Leftrightarrow \left| a \right|.\left| a+2 \right|<8$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}\left( {{a}^{2}}+4a+4 \right)<64\Leftrightarrow {{a}^{4}}+4{{a}^{3}}+4{{a}^{2}}-64<0\Rightarrow -4<a<2$.
Kết hợp với điều kiện $a\ne 0$ ta suy ra có $4$ giá trị nguyên của $a$ là: $-3;-2;-1;1$.
Đáp án D.