Trên tập số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2mz+m+6=0$ ( $m$ là...

Ta có ${\Delta }'={{m}^{2}}-\left( m+6 \right)={{m}^{2}}-m-6$.
Vì phương trình có hai nghiệm phân biệt nên ${\Delta }'\ne 0$. Xét hai trường hợp:
TH1: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-m-6>0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m<-2 \\
m>3 \\
\end{matrix} \right.$. Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt.
Ta có $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=4$ $\Leftrightarrow {{\left( \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right| \right)}^{2}}=16\Leftrightarrow {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}+2\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=16$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2\left| m+6 \right|-2\left( m+6 \right)=16 $
Nếu $m+6\ge 0\Leftrightarrow m\ge -6$, kết hợp với $\left( 1 \right)$ ta được $\left[ \begin{matrix}
-6\le m<-2 \\
m>3 \\
\end{matrix} \right.$
Khi đó $\left( 2 \right)\Leftrightarrow $ ${{m}^{2}}+2\left( m+6 \right)-2\left( m+6 \right)=16\Leftrightarrow {{m}^{2}}=16\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=4 \\
m=-4 \\
\end{matrix} \right.$).
Nếu $m+6<0\Leftrightarrow m<-6$, kết hợp với $\left( 1 \right)$ ta được $m<-6$.
Khi đó $\left( 2 \right)\Leftrightarrow $ ${{m}^{2}}-2\left( m+6 \right)-2\left( m+6 \right)=16\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m-40=0\Leftrightarrow m=2\pm 2\sqrt{11}$ ).
TH2: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-m-6<0\Leftrightarrow -2<m<3$. Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt.
Ta có $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=4$ $\Leftrightarrow {{\left( \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right| \right)}^{2}}=16$
$\Leftrightarrow \left| m+i\sqrt{\left| {{m}^{2}}-\left( m+6 \right) \right|} \right|+\left| m-i\sqrt{\left| {{m}^{2}}-\left( m+6 \right) \right|} \right|=4$
$\Leftrightarrow \left| m+i\sqrt{-{{m}^{2}}+m+6} \right|+\left| m-i\sqrt{-{{m}^{2}}+m+6} \right|=4$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{{{m}^{2}}-{{m}^{2}}+m+6}=4\Leftrightarrow \sqrt{m+6}=2\Leftrightarrow m=-2$ ).
Vậy có $2$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn điều kiện bài ra.