Google
Câu hỏi: Trên tập hợp số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2m\text{z}+{{m}^{2}}-2m=0$ ( $m$ là tham số thực). Tính tổng tất cả các giá trị của $m$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}+1 \right|+\left| {{z}_{2}}+1 \right|=4$.
A. $1-\sqrt{3}$.
B. $2+\sqrt{3}$.
C. 2.
D. 3.
A. $1-\sqrt{3}$.
B. $2+\sqrt{3}$.
C. 2.
D. 3.
${{z}^{2}}-2m\text{z}+{{m}^{2}}-2m=0$ $\left( * \right)$
${\Delta }'={{m}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-2m \right)=2m$.
Trường hợp 1: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow m>0$ $\left( 1 \right)$
Phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm thực phân biệt ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ với ${{z}_{1}}=m-\sqrt{2m}$ ; ${{z}_{2}}=m+\sqrt{2m}$.
$\left| {{z}_{1}}+1 \right|+\left| {{z}_{2}}+1 \right|=4$ $\Leftrightarrow \left| m-\sqrt{2m}+1 \right|+\left| m+\sqrt{2m}+1 \right|=4$ $\Leftrightarrow \left| m-\sqrt{2m}+1 \right|=3-m-\sqrt{2m}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3-m-\sqrt{2m}\ge 0 \\
& {{m}^{2}}+2m+1-2m\sqrt{2m}+2m-2\sqrt{2m}=9+{{m}^{2}}+2m-6m-6\sqrt{2m}+2m\sqrt{2m} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{2m}\le 3-m \\
& 8-8m-4\sqrt{2m}+4m\sqrt{2m}=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3-m>0 \\
& 2m\le {{\left( 3-m \right)}^{2}} \\
& 8\left( 1-m \right)-4\sqrt{2m}\left( 1-m \right)=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<3 \\
& {{m}^{2}}-8m+9\ge 0 \\
& \left( 1-m \right)\left( 8-4\sqrt{2m} \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow m=1$.
Trường hợp 2: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow m<0$ $\left( 2 \right)$
Phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm phức phân biệt ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ với ${{z}_{1}}=m-i\sqrt{\left| 2m \right|}$ ; ${{z}_{2}}=m+i\sqrt{\left| 2m \right|}$.
$\left| {{z}_{1}}+1 \right|+\left| {{z}_{2}}+1 \right|=4$ $\Leftrightarrow \left| m-i\sqrt{\left| 2m \right|}+1 \right|+\left| m+i\sqrt{\left| 2m \right|}+1 \right|=4$ $\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( m+1 \right)}^{2}}+\left| 2m \right|}+\sqrt{{{\left( m+1 \right)}^{2}}+\left| 2m \right|}=4$ $\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( m+1 \right)}^{2}}+\left| 2m \right|}=2\Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}+\left| 2m \right|=4\Leftrightarrow {{m}^{2}}-3=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-\sqrt{3} \\
& m=\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Đối chiếu điều kiện $\left( 2 \right)$ chỉ nhận giá trị $m=-\sqrt{3}$.
Vậy tổng tất cả các giá trị $m$ là $S=1-\sqrt{3}$.
${\Delta }'={{m}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-2m \right)=2m$.
Trường hợp 1: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow m>0$ $\left( 1 \right)$
Phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm thực phân biệt ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ với ${{z}_{1}}=m-\sqrt{2m}$ ; ${{z}_{2}}=m+\sqrt{2m}$.
$\left| {{z}_{1}}+1 \right|+\left| {{z}_{2}}+1 \right|=4$ $\Leftrightarrow \left| m-\sqrt{2m}+1 \right|+\left| m+\sqrt{2m}+1 \right|=4$ $\Leftrightarrow \left| m-\sqrt{2m}+1 \right|=3-m-\sqrt{2m}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3-m-\sqrt{2m}\ge 0 \\
& {{m}^{2}}+2m+1-2m\sqrt{2m}+2m-2\sqrt{2m}=9+{{m}^{2}}+2m-6m-6\sqrt{2m}+2m\sqrt{2m} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{2m}\le 3-m \\
& 8-8m-4\sqrt{2m}+4m\sqrt{2m}=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3-m>0 \\
& 2m\le {{\left( 3-m \right)}^{2}} \\
& 8\left( 1-m \right)-4\sqrt{2m}\left( 1-m \right)=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<3 \\
& {{m}^{2}}-8m+9\ge 0 \\
& \left( 1-m \right)\left( 8-4\sqrt{2m} \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow m=1$.
Trường hợp 2: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow m<0$ $\left( 2 \right)$
Phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm phức phân biệt ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ với ${{z}_{1}}=m-i\sqrt{\left| 2m \right|}$ ; ${{z}_{2}}=m+i\sqrt{\left| 2m \right|}$.
$\left| {{z}_{1}}+1 \right|+\left| {{z}_{2}}+1 \right|=4$ $\Leftrightarrow \left| m-i\sqrt{\left| 2m \right|}+1 \right|+\left| m+i\sqrt{\left| 2m \right|}+1 \right|=4$ $\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( m+1 \right)}^{2}}+\left| 2m \right|}+\sqrt{{{\left( m+1 \right)}^{2}}+\left| 2m \right|}=4$ $\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( m+1 \right)}^{2}}+\left| 2m \right|}=2\Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}+\left| 2m \right|=4\Leftrightarrow {{m}^{2}}-3=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-\sqrt{3} \\
& m=\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Đối chiếu điều kiện $\left( 2 \right)$ chỉ nhận giá trị $m=-\sqrt{3}$.
Vậy tổng tất cả các giá trị $m$ là $S=1-\sqrt{3}$.
Đáp án A.