Trên tập hợp số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2mz+8m-12=0$ (...

Ta có: ${\Delta }'={{m}^{2}}-8m+12$
TH1: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow 2<m<6$.
Phương trình có hai nghiệm phức ${{z}_{1,2}}=m\pm i\sqrt{-{{m}^{2}}+8m-12} $.
Ta có $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$, do đó $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=4\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=2$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}+(-{{m}^{2}}+8m-12)=4\Leftrightarrow 8m-12=4\Leftrightarrow m=2 (\text{l})$.
TH2: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<2 \\
& m>6 \\
\end{aligned} \right. $thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt $ {{z}_{1}},{{z}_{2}} $ $ \left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-2m \\
& {{z}_{1}}\text{. }{{z}_{2}}=8m-12 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có: $\left| {{z}_{1}} \right|\text{+}\left| {{z}_{2}} \right|=4\Leftrightarrow {{\left( {{z}_{1}}\text{+}{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}+2\left| {{z}_{1}} \right|\left| {{z}_{2}} \right|=16$
$\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-2\left( 8m-12 \right)+2\left| 8m-12 \right|=16$
$\Leftrightarrow 2\left| 8m-12 \right|=-4{{m}^{2}}+16m-8\Leftrightarrow \left| 4m-6 \right|=-{{m}^{2}}+4m-2$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& 4m-6=-{{m}^{2}}+4m-2 \\
& 4m-6={{m}^{2}}-4m+2 \\
\end{aligned} \right. \\
& -{{m}^{2}}+4m-2\ge 0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}=4 \\
& {{m}^{2}}-8m+8=0 \\
\end{aligned} \right. \\
& -{{m}^{2}}+4m-2\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m=\pm 2 \\
& m=4\pm 2\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right. \\
& 2-\sqrt{2}\le m\le 2+\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=2 \\
& m=4-2\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy có 2 giá trị thỏa mãn.