Google
Câu hỏi: Trên tập hợp số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}+2mz+1=0$ ( $m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}+3 \right|=\left| {{z}_{2}}+3 \right|$ ?
A. $3$.
B. $4$.
C. $2$.
D. $1$.
A. $3$.
B. $4$.
C. $2$.
D. $1$.
Xét phương trình $\left( 1 \right)$ : ${{z}^{2}}+2mz+1=0$
Để phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt thì có 2 trường hợp:
TH1: Hai nghiệm ${{z}_{1}},{{z}_{2}}\in \mathbb{R}$ $\Rightarrow {\Delta }'>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-1>0\Leftrightarrow m<-1\vee m>1$
Khi đó: $\left| {{z}_{1}}+3 \right|=\left| {{z}_{2}}+3 \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+3={{z}_{2}}+3 \\
& {{z}_{1}}+3=-\left( {{z}_{2}}+3 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}={{z}_{2}}\left( loai \right) \\
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-6 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow -2m=-6\Leftrightarrow m=3$. So điều kiện, nhận $m=3$.
TH2: Hai nghiệm ${{z}_{1}},{{z}_{2}}\in \mathbb{C}\backslash \mathbb{R}$ $\Rightarrow {\Delta }'<0\Leftrightarrow -1<m<1$
Khi đó: $\left| {{z}_{1}}+3 \right|=\left| {{z}_{2}}+3 \right|\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( a+3 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a+3 \right)}^{2}}+{{\left( -b \right)}^{2}}}$ (luôn đúng).
Vì $m$ nguyên nên nhận $m=0$.
Vậy có 2 giá trị nguyên của $m$ thoả đề.
Để phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt thì có 2 trường hợp:
TH1: Hai nghiệm ${{z}_{1}},{{z}_{2}}\in \mathbb{R}$ $\Rightarrow {\Delta }'>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-1>0\Leftrightarrow m<-1\vee m>1$
Khi đó: $\left| {{z}_{1}}+3 \right|=\left| {{z}_{2}}+3 \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+3={{z}_{2}}+3 \\
& {{z}_{1}}+3=-\left( {{z}_{2}}+3 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}={{z}_{2}}\left( loai \right) \\
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-6 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow -2m=-6\Leftrightarrow m=3$. So điều kiện, nhận $m=3$.
TH2: Hai nghiệm ${{z}_{1}},{{z}_{2}}\in \mathbb{C}\backslash \mathbb{R}$ $\Rightarrow {\Delta }'<0\Leftrightarrow -1<m<1$
Khi đó: $\left| {{z}_{1}}+3 \right|=\left| {{z}_{2}}+3 \right|\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( a+3 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a+3 \right)}^{2}}+{{\left( -b \right)}^{2}}}$ (luôn đúng).
Vì $m$ nguyên nên nhận $m=0$.
Vậy có 2 giá trị nguyên của $m$ thoả đề.
Đáp án C.