Google
Câu hỏi: Trên tập hợp số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2\left( m+1 \right)z+{{m}^{2}}=0$ ( $m$ là số thực). Có bao nhiêu giá trị của $m$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=2?$
A. $1.$
B. $4.$
C. $2.$
D. $3.$
A. $1.$
B. $4.$
C. $2.$
D. $3.$
Ta có: ${\Delta }'=2m+2$
TH1: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow m<-1.$
Phương trình có hai nghiệm phức, khi đó: $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{\dfrac{c}{a}}=\sqrt{{{m}^{2}}}.$
Suy ra: $2\sqrt{{{m}^{2}}}=2\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=-1(l) \\
\end{aligned} \right..$
TH2: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow m>-1.$
Vì $a.c={{m}^{2}}\ge 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}\ge 0$ hoặc ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}\le 0.$
Suy ra: $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=2\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=2\Leftrightarrow \left| 2m+2 \right|=2\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-2(l) \\
& m=0 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy có $2$ giá trị của $m$ thỏa yêu cầu bài toán.
TH1: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow m<-1.$
Phương trình có hai nghiệm phức, khi đó: $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{\dfrac{c}{a}}=\sqrt{{{m}^{2}}}.$
Suy ra: $2\sqrt{{{m}^{2}}}=2\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=-1(l) \\
\end{aligned} \right..$
TH2: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow m>-1.$
Vì $a.c={{m}^{2}}\ge 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}\ge 0$ hoặc ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}\le 0.$
Suy ra: $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=2\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=2\Leftrightarrow \left| 2m+2 \right|=2\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-2(l) \\
& m=0 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy có $2$ giá trị của $m$ thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án C.