Google
Câu hỏi: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}+4az+{{b}^{2}}+2=0$, ( $a, b$ là các tham số thực). Có bao nhiêu cặp số thực $\left( a; b \right)$ sao cho phương trình đó có hai nghiệm ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{1}}+2i{{z}_{2}}=3+3i$ ?
A. $4$.
B. $1$.
C. $2$.
D. $3$.
A. $4$.
B. $1$.
C. $2$.
D. $3$.
Theo định lý Vi-ét, ta có : $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-4a \\
& {{z}_{1}}{{z}_{2}}={{b}^{2}}+2 \\
\end{aligned} \right.$.
Theo yêu cầu bài toán, phương trình đã cho có hai nghiệm ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{1}}+2i{{z}_{2}}=3+3i$ $\Leftrightarrow {{z}_{1}}+2i{{z}_{2}}-3-3i=0$ $\Leftrightarrow \left( {{z}_{1}}+2i{{z}_{2}}-3-3i \right)\left( {{z}_{2}}+2i{{z}_{1}}-3-3i \right)=0$
$\Leftrightarrow -3{{z}_{1}}{{z}_{2}}-\left( 1+2i \right)\left( 3+3i \right)\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)+18i+2i\left( z_{1}^{2}+z_{2}^{2} \right)=0$ $\Leftrightarrow -3\left( {{b}^{2}}+2 \right)+\left( 3-9i \right)\left( -4a \right)+18i+2i\left[ {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right]=0$
$\Leftrightarrow -3\left( {{b}^{2}}+2 \right)+\left( 3-9i \right)\left( -4a \right)+18i+2i\left[ 16{{a}^{2}}-2\left( {{b}^{2}}+2 \right) \right]=0$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -3\left( {{b}^{2}}+2 \right)-12a=0 \\
& 36a+18+32{{a}^{2}}-4\left( {{b}^{2}}+2 \right)=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{b}^{2}}+2=-4a \\
& 36a+18+32{{a}^{2}}+16a=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{b}^{2}}+2=-4a \\
& 32{{a}^{2}}+52a+18=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{b}^{2}}+2=-4a \\
& \left[ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{1}{2} \\
& a=-\dfrac{9}{8} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{1}{2};b=0 \\
& a=-\dfrac{9}{8};{{b}^{2}}=\dfrac{5}{2} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{1}{2};b=0 \\
& a=-\dfrac{9}{8};b=\pm \dfrac{\sqrt{10}}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy có 3 cặp số thực $\left( a; b \right)$ thỏa mãn bài toán.
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-4a \\
& {{z}_{1}}{{z}_{2}}={{b}^{2}}+2 \\
\end{aligned} \right.$.
Theo yêu cầu bài toán, phương trình đã cho có hai nghiệm ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{1}}+2i{{z}_{2}}=3+3i$ $\Leftrightarrow {{z}_{1}}+2i{{z}_{2}}-3-3i=0$ $\Leftrightarrow \left( {{z}_{1}}+2i{{z}_{2}}-3-3i \right)\left( {{z}_{2}}+2i{{z}_{1}}-3-3i \right)=0$
$\Leftrightarrow -3{{z}_{1}}{{z}_{2}}-\left( 1+2i \right)\left( 3+3i \right)\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)+18i+2i\left( z_{1}^{2}+z_{2}^{2} \right)=0$ $\Leftrightarrow -3\left( {{b}^{2}}+2 \right)+\left( 3-9i \right)\left( -4a \right)+18i+2i\left[ {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right]=0$
$\Leftrightarrow -3\left( {{b}^{2}}+2 \right)+\left( 3-9i \right)\left( -4a \right)+18i+2i\left[ 16{{a}^{2}}-2\left( {{b}^{2}}+2 \right) \right]=0$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -3\left( {{b}^{2}}+2 \right)-12a=0 \\
& 36a+18+32{{a}^{2}}-4\left( {{b}^{2}}+2 \right)=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{b}^{2}}+2=-4a \\
& 36a+18+32{{a}^{2}}+16a=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{b}^{2}}+2=-4a \\
& 32{{a}^{2}}+52a+18=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{b}^{2}}+2=-4a \\
& \left[ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{1}{2} \\
& a=-\dfrac{9}{8} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{1}{2};b=0 \\
& a=-\dfrac{9}{8};{{b}^{2}}=\dfrac{5}{2} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{1}{2};b=0 \\
& a=-\dfrac{9}{8};b=\pm \dfrac{\sqrt{10}}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy có 3 cặp số thực $\left( a; b \right)$ thỏa mãn bài toán.
Đáp án D.