Google
Câu hỏi: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}+2\left( m+1 \right)z+12m-8=0$ ( $m$ là tham số thực), có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}+1 \right|=\left| {{z}_{2}}+1 \right|$ ?
A. $7$.
B. $8$.
C. $10$.
D. $11$.
A. $7$.
B. $8$.
C. $10$.
D. $11$.
Xét phương trình ${{z}^{2}}+2\left( m+1 \right)z+12m-8=0$
Đặt $z=w-1$
${{\left( w-1 \right)}^{2}}+2\left( m+1 \right)\left( w-1 \right)+12m-8=0$ $\Leftrightarrow {{w}^{2}}+2mw+10m-9=0$
$\Delta \prime ={{m}^{2}}-10m+9$.
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}+1 \right|=\left| {{z}_{2}}+1 \right|$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{w}_{1}},{{w}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{w}_{1}} \right|=\left| {{w}_{2}} \right|$.
TH 1:$\Delta \prime >0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-10m+9>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<1 \\
& m>9 \\
\end{aligned} \right.$.
Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt ${{w}_{1}},{{w}_{2}}$.
$\left| {{w}_{1}} \right|=\left| {{w}_{2}} \right|\Leftrightarrow {{w}_{1}}=-{{w}_{2}}\Leftrightarrow {{w}_{1}}+{{w}_{2}}=0\Leftrightarrow 2m=0\Leftrightarrow m=0$ ).
TH 2: $\Delta \prime <0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-10m+9<0\Leftrightarrow 1<m<9$.
Phương trình có hai nghiệm phức ${{w}_{1}},{{w}_{2}}$ và ${{w}_{1}},{{w}_{2}}\notin \mathbb{R}$.
Ta có ${{w}_{1}}=\overline{{{w}_{2}}}$ suy ra $\left| {{w}_{1}} \right|=\left| \overline{{{w}_{2}}} \right|=\left| {{w}_{2}} \right|$.
Từ suy ra tập hợp các giá trị nguyên của $m$ là $\left\{ 2;3;4;5;6;7;8 \right\}$.
Từ 2 trường hợp suy ra tập hợp các giá trị nguyên của $m$ là $\left\{ 0;2;3;4;5;6;7;8 \right\}$.
Đặt $z=w-1$
${{\left( w-1 \right)}^{2}}+2\left( m+1 \right)\left( w-1 \right)+12m-8=0$ $\Leftrightarrow {{w}^{2}}+2mw+10m-9=0$
$\Delta \prime ={{m}^{2}}-10m+9$.
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}+1 \right|=\left| {{z}_{2}}+1 \right|$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{w}_{1}},{{w}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{w}_{1}} \right|=\left| {{w}_{2}} \right|$.
TH 1:$\Delta \prime >0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-10m+9>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<1 \\
& m>9 \\
\end{aligned} \right.$.
Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt ${{w}_{1}},{{w}_{2}}$.
$\left| {{w}_{1}} \right|=\left| {{w}_{2}} \right|\Leftrightarrow {{w}_{1}}=-{{w}_{2}}\Leftrightarrow {{w}_{1}}+{{w}_{2}}=0\Leftrightarrow 2m=0\Leftrightarrow m=0$ ).
TH 2: $\Delta \prime <0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-10m+9<0\Leftrightarrow 1<m<9$.
Phương trình có hai nghiệm phức ${{w}_{1}},{{w}_{2}}$ và ${{w}_{1}},{{w}_{2}}\notin \mathbb{R}$.
Ta có ${{w}_{1}}=\overline{{{w}_{2}}}$ suy ra $\left| {{w}_{1}} \right|=\left| \overline{{{w}_{2}}} \right|=\left| {{w}_{2}} \right|$.
Từ suy ra tập hợp các giá trị nguyên của $m$ là $\left\{ 2;3;4;5;6;7;8 \right\}$.
Từ 2 trường hợp suy ra tập hợp các giá trị nguyên của $m$ là $\left\{ 0;2;3;4;5;6;7;8 \right\}$.
Đáp án B.