Google
Câu hỏi: Trên tập hợp các số phức, phương trình ${{z}^{2}}+\left( a-2 \right)z+2a-3=0$ ( $a$ là tham số thực) có $2$ nghiệm ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$. Gọi $M$, $N$ là điểm biểu diễn của ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ trên mặt phẳng tọa độ. Biết rằng có $2$ giá trị của tham số $a$ để tam giác $OMN$ có một góc bằng $120{}^\circ $. Tổng các giá trị đó bằng bao nhiêu?
A. $6$.
B. $-4$.
C. $4$.
D. $-6$.
A. $6$.
B. $-4$.
C. $4$.
D. $-6$.
Vì $O$, $M$, $N$ không thẳng hàng nên ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ không đồng thời là số thực, cũng không đồng thời là số thuần ảo $\Rightarrow $ ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ là hai nghiệm phức, không phải số thực của phương trình ${{z}^{2}}+\left( a-2 \right)z+2a-3=0$. Do đó, ta phải có $\Delta ={{a}^{2}}-12a+16<0$ $\Leftrightarrow a\in \left( 6-2\sqrt{5}; 6+2\sqrt{5} \right)$.
Khi đó, ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=\dfrac{2-a}{2}-\dfrac{\sqrt{-{{a}^{2}}+12a-16}}{2}i \\
& {{z}_{1}}=\dfrac{2-a}{2}+\dfrac{\sqrt{-{{a}^{2}}+12a-16}}{2}i \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow OM=ON=\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{2a-3}$ và $MN=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{-{{a}^{2}}+12a-16}$.
Tam giác $OMN$ cân nên $\widehat{MON}=120{}^\circ $ $\Rightarrow \dfrac{O{{M}^{2}}+O{{N}^{2}}-M{{N}^{2}}}{2OM.ON}=\cos 120{}^\circ $ $\Leftrightarrow \dfrac{{{a}^{2}}-8a+10}{2\left( 2a-3 \right)}=-\dfrac{1}{2}$ $\Leftrightarrow {{a}^{2}}-6a+7=0\Leftrightarrow a=3\pm \sqrt{2}$.
Suy ra tổng các giá trị cần tìm của $a$ bằng $6$.
Khi đó, ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=\dfrac{2-a}{2}-\dfrac{\sqrt{-{{a}^{2}}+12a-16}}{2}i \\
& {{z}_{1}}=\dfrac{2-a}{2}+\dfrac{\sqrt{-{{a}^{2}}+12a-16}}{2}i \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow OM=ON=\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{2a-3}$ và $MN=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{-{{a}^{2}}+12a-16}$.
Tam giác $OMN$ cân nên $\widehat{MON}=120{}^\circ $ $\Rightarrow \dfrac{O{{M}^{2}}+O{{N}^{2}}-M{{N}^{2}}}{2OM.ON}=\cos 120{}^\circ $ $\Leftrightarrow \dfrac{{{a}^{2}}-8a+10}{2\left( 2a-3 \right)}=-\dfrac{1}{2}$ $\Leftrightarrow {{a}^{2}}-6a+7=0\Leftrightarrow a=3\pm \sqrt{2}$.
Suy ra tổng các giá trị cần tìm của $a$ bằng $6$.
Đáp án A.