Google
Câu hỏi: Trên tập hợp các số phức, phương trình $a{{z}^{2}}+bz+c=0$, với $a,b,c\in \mathbb{R},a\ne 0$ có các nghiệm ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ đều không là số thực. Đặt $P={{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}$, khẳng định nào sau đây đúng?
A. $P=\dfrac{{{b}^{2}}-2ac}{{{a}^{2}}}$.
B. $P=\dfrac{2c}{a}$.
C. $P=\dfrac{4c}{a}$.
D. $P=\dfrac{2{{b}^{2}}-4ac}{{{a}^{2}}}$.
A. $P=\dfrac{{{b}^{2}}-2ac}{{{a}^{2}}}$.
B. $P=\dfrac{2c}{a}$.
C. $P=\dfrac{4c}{a}$.
D. $P=\dfrac{2{{b}^{2}}-4ac}{{{a}^{2}}}$.
Cách 1: Tự luận.
Ta có phương trình $a{{z}^{2}}+bz+c=0$ có các nghiệm ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ đều không là số thực, do đó $\Delta ={{b}^{2}}-4ac<0$. Ta có $\Delta ={{i}^{2}}\left( 4ac-{{b}^{2}} \right)$. Khi đó $\left\{ \begin{matrix}
{{z}_{1}}=\dfrac{-b+i\sqrt{4ac-{{b}^{2}}}}{2a} \\
{{z}_{2}}=\dfrac{-b-i\sqrt{4ac-{{b}^{2}}}}{2a} \\
\end{matrix} \right.$
Khi đó: $\left\{ \begin{matrix}
{{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\dfrac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}} \\
{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\dfrac{4ac-{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}} \\
\end{matrix}\Rightarrow P={{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\dfrac{4c}{a} \right.$.
Cách 2: Trắc nghiệm.
Cho $a=1,b=0,c=1$, ta có phương trình ${{z}^{2}}+1=0$ có 2 nghiệm phức là ${{z}_{1}}=i,{{z}_{2}}=-i$.
Khi đó $P={{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=4$.
Thế $a=1,b=0,c=1$ lên các đáp án, ta thấy chỉ có đáp án C cho kết quả giống.
Ta có phương trình $a{{z}^{2}}+bz+c=0$ có các nghiệm ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ đều không là số thực, do đó $\Delta ={{b}^{2}}-4ac<0$. Ta có $\Delta ={{i}^{2}}\left( 4ac-{{b}^{2}} \right)$. Khi đó $\left\{ \begin{matrix}
{{z}_{1}}=\dfrac{-b+i\sqrt{4ac-{{b}^{2}}}}{2a} \\
{{z}_{2}}=\dfrac{-b-i\sqrt{4ac-{{b}^{2}}}}{2a} \\
\end{matrix} \right.$
Khi đó: $\left\{ \begin{matrix}
{{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\dfrac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}} \\
{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\dfrac{4ac-{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}} \\
\end{matrix}\Rightarrow P={{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\dfrac{4c}{a} \right.$.
Cách 2: Trắc nghiệm.
Cho $a=1,b=0,c=1$, ta có phương trình ${{z}^{2}}+1=0$ có 2 nghiệm phức là ${{z}_{1}}=i,{{z}_{2}}=-i$.
Khi đó $P={{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=4$.
Thế $a=1,b=0,c=1$ lên các đáp án, ta thấy chỉ có đáp án C cho kết quả giống.
Đáp án C.