Trên tập hợp các số phức, cho phương trình ${{z}^{3}}+\left( 1-2m...

Ta có: ${{z}^{3}}+\left( 1-2m \right){{z}^{2}}+2mz+4m=0$ $\Leftrightarrow \left( z+1 \right)\left( {{z}^{2}}-2mz+4m \right)=0$ $\left( * \right)$
Phương trình $\left( * \right)$ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow $ ${{z}^{2}}-2mz+4m=0$ có 2 nghiệm phân biệt
khác $-1$
Trường hợp 1: $\left\{ \begin{aligned}
& \Delta '>0 \\
& 1+2m+4m\ne 0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-4m>0 \\
& 1+2m+4m\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m>4 \\
& m<0 \\
\end{aligned} \right. \\
& m\ne \dfrac{-1}{6} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $loại vì 3 nghiệm đều thực.
Trường hợp 2: $\Delta '<0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m<0\Leftrightarrow 0<m<4$ $\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=m-i\sqrt{4m-{{m}^{2}}} \\
& {{z}_{2}}=m+i\sqrt{4m-{{m}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó, tam giác ABC có tọa độ ba điểm: $A\left( -1;0 \right)$, $B\left( m;-\sqrt{4m-{{m}^{2}}} \right)$, $C\left( m;\sqrt{4m-{{m}^{2}}} \right)$
$\Rightarrow $ tam giác ABC cân tại A, Để tam giác đều cần thêm $AB=BC$ $\Leftrightarrow AB=BC$ $\Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}+4m-{{m}^{2}}=4\left( 4m-{{m}^{2}} \right)$ $\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-10m+1=0$ có tổng nghiệm bằng $\dfrac{5}{2}.$