Google
Câu hỏi: Trên tập số phức, cho phương trình ${{z}^{2}}+2\left( m-1 \right)z+{{m}^{2}}+2m=0$. Có bao nhiêu tham số $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ thõa mãn ${{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=5$
A. $1$.
B. $0$.
C. $2$.
D. $4$.
A. $1$.
B. $0$.
C. $2$.
D. $4$.
Ta có: ${\Delta }'={{\left( m-1 \right)}^{2}}-\left( {{m}^{2}}+2m \right)=-4m+1$
TH1: YCBT $\Leftrightarrow $ $\left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'>0 \\
& {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<\dfrac{1}{4} \\
& {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}=5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<\dfrac{1}{4} \\
& 4{{\left( m-1 \right)}^{2}}-2\left( {{m}^{2}}+2m \right)=5 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<\dfrac{1}{4} \\
& 2{{m}^{2}}-12m-1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<\dfrac{1}{4} \\
& \left[ \begin{aligned}
& m=\dfrac{6+\sqrt{38}}{2}\ (L) \\
& m=\dfrac{6-\sqrt{38}}{2}\ (N) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
TH2: Khi ${\Delta }'<0\Leftrightarrow m>\dfrac{1}{4}$
Phương trình đã cho có hai nghiệm phức ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ có dạng ${{z}_{1}}=a+bi,{{z}_{2}}=a-bi$ với $a=-m+1;b=\sqrt{4m-1}$
Khi đó:
$\begin{aligned}
& {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=5\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}=5\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=\dfrac{5}{2} \\
& \Leftrightarrow {{\left( 1-m \right)}^{2}}+4m-1=\dfrac{5}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=\dfrac{-2+\sqrt{14}}{2}(N) \\
& m=\dfrac{-2-\sqrt{14}}{2}(L) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
TH1: YCBT $\Leftrightarrow $ $\left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'>0 \\
& {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<\dfrac{1}{4} \\
& {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}=5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<\dfrac{1}{4} \\
& 4{{\left( m-1 \right)}^{2}}-2\left( {{m}^{2}}+2m \right)=5 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<\dfrac{1}{4} \\
& 2{{m}^{2}}-12m-1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<\dfrac{1}{4} \\
& \left[ \begin{aligned}
& m=\dfrac{6+\sqrt{38}}{2}\ (L) \\
& m=\dfrac{6-\sqrt{38}}{2}\ (N) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
TH2: Khi ${\Delta }'<0\Leftrightarrow m>\dfrac{1}{4}$
Phương trình đã cho có hai nghiệm phức ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ có dạng ${{z}_{1}}=a+bi,{{z}_{2}}=a-bi$ với $a=-m+1;b=\sqrt{4m-1}$
Khi đó:
$\begin{aligned}
& {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=5\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}=5\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=\dfrac{5}{2} \\
& \Leftrightarrow {{\left( 1-m \right)}^{2}}+4m-1=\dfrac{5}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=\dfrac{-2+\sqrt{14}}{2}(N) \\
& m=\dfrac{-2-\sqrt{14}}{2}(L) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Đáp án C.