Trên tập các số phức, xét phương trình $z^2-mz+m+8=0$ ( $m$...

Ta có $\mathrm{\Delta }=m^2-4m-32$ là biệt thức của phương trình.
Trường hợp 1: Xét $\mathrm{\Delta }>0\iff m^2-4m-32>0\iff [\begin{array}{rl}& m>8\\ & m<-4\end{array}$ khi đó phương trình có hai nghiệm thực phân biệt. Ta có $z_1^2=m{z}_1-m-8$ suy ra $z_1^2+m{z}_2=m(z_1+z_2)-m-8=m^2-m-8$ do đó $\left|z_1(z_1^2+m{z}_2)\right|=(m^2-m-8)\left|z_2\right|$ $\iff |m^2-m-8|\left|z_1\right|=(m^2-m-8)\left|z_2\right|$ (*).
Nếu $z_1.z_2=0$ thì $m+8=0\Rightarrow m=-8$ không thỏa mãn. Khi đó (*)$\iff \{\begin{array}{rl}& m^2-m-8>0\\ & \left|z_1\right|=\left|z_2\right|\end{array}$
$\iff \{\begin{array}{rl}& m^2-m-8>0\\ & z_1=-z_2\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{rl}& m^2-m-8>0\\ & m=0\end{array}$ hệ vô nghiệm.
Trường hợp 2: Xét $\mathrm{\Delta }<0\iff -4<m<8$ khi đó phương trình có hai nghiệm phức phân biệt và $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|$, ta có $\left|z_1(z_1^2+m{z}_2)\right|=(m^2-m-8)\left|z_2\right|$ $\iff |m^2-m-8|\left|z_1\right|=(m^2-m-8)\left|z_2\right|$
$\iff m^2-m-8\ge 0\iff [\begin{array}{rl}& m\ge {\displaystyle \frac{1+\sqrt{33}}{2}}\\ & m\le {\displaystyle \frac{1-\sqrt{33}}{2}}\end{array}$. Kết hợp điều kiện ta được $m\in \{-3;4;5;6;7\}$.
Vậy có tất cả là $5$ số nguyên cần tìm.