Google
Câu hỏi: Trên tập các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-mz+m+8=0$ ( $m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình có hai nghiệm ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ phân biệt thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}\left( z_{1}^{2}+m{{z}_{2}} \right) \right|=\left( {{m}^{2}}-m-8 \right)\left| {{z}_{2}} \right|$ ?
A. $12$.
B. $6$.
C. $5$.
D. $11$.
A. $12$.
B. $6$.
C. $5$.
D. $11$.
Ta có $\Delta ={{m}^{2}}-4m-32$ là biệt thức của phương trình.
Trường hợp 1: Xét $\Delta >0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m-32>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>8 \\
& m<-4 \\
\end{aligned} \right. $ khi đó phương trình có hai nghiệm thực phân biệt. Ta có $ z_{1}^{2}=m{{z}_{1}}-m-8 $ suy ra $ z_{1}^{2}+m{{z}_{2}}=m\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)-m-8={{m}^{2}}-m-8 $ do đó $ \left| {{z}_{1}}\left( z_{1}^{2}+m{{z}_{2}} \right) \right|=\left( {{m}^{2}}-m-8 \right)\left| {{z}_{2}} \right| $ $ \Leftrightarrow \left| {{m}^{2}}-m-8 \right|\left| {{z}_{1}} \right|=\left( {{m}^{2}}-m-8 \right)\left| {{z}_{2}} \right|$ (*).
Nếu ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}=0$ thì $m+8=0\Rightarrow m=-8$ không thỏa mãn. Khi đó (*)$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-m-8>0 \\
& \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right| \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-m-8>0 \\
& {{z}_{1}}=-{{z}_{2}} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-m-8>0 \\
& m=0 \\
\end{aligned} \right.$ hệ vô nghiệm.
Trường hợp 2: Xét $\Delta <0\Leftrightarrow -4<m<8$ khi đó phương trình có hai nghiệm phức phân biệt và $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$, ta có $\left| {{z}_{1}}\left( z_{1}^{2}+m{{z}_{2}} \right) \right|=\left( {{m}^{2}}-m-8 \right)\left| {{z}_{2}} \right|$ $\Leftrightarrow \left| {{m}^{2}}-m-8 \right|\left| {{z}_{1}} \right|=\left( {{m}^{2}}-m-8 \right)\left| {{z}_{2}} \right|$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-m-8\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\ge \dfrac{1+\sqrt{33}}{2} \\
& m\le \dfrac{1-\sqrt{33}}{2} \\
\end{aligned} \right. $. Kết hợp điều kiện ta được $ m\in \left\{ -3; 4; 5; 6; 7 \right\}$.
Vậy có tất cả là $5$ số nguyên cần tìm.
Trường hợp 1: Xét $\Delta >0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m-32>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>8 \\
& m<-4 \\
\end{aligned} \right. $ khi đó phương trình có hai nghiệm thực phân biệt. Ta có $ z_{1}^{2}=m{{z}_{1}}-m-8 $ suy ra $ z_{1}^{2}+m{{z}_{2}}=m\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)-m-8={{m}^{2}}-m-8 $ do đó $ \left| {{z}_{1}}\left( z_{1}^{2}+m{{z}_{2}} \right) \right|=\left( {{m}^{2}}-m-8 \right)\left| {{z}_{2}} \right| $ $ \Leftrightarrow \left| {{m}^{2}}-m-8 \right|\left| {{z}_{1}} \right|=\left( {{m}^{2}}-m-8 \right)\left| {{z}_{2}} \right|$ (*).
Nếu ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}=0$ thì $m+8=0\Rightarrow m=-8$ không thỏa mãn. Khi đó (*)$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-m-8>0 \\
& \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right| \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-m-8>0 \\
& {{z}_{1}}=-{{z}_{2}} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-m-8>0 \\
& m=0 \\
\end{aligned} \right.$ hệ vô nghiệm.
Trường hợp 2: Xét $\Delta <0\Leftrightarrow -4<m<8$ khi đó phương trình có hai nghiệm phức phân biệt và $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$, ta có $\left| {{z}_{1}}\left( z_{1}^{2}+m{{z}_{2}} \right) \right|=\left( {{m}^{2}}-m-8 \right)\left| {{z}_{2}} \right|$ $\Leftrightarrow \left| {{m}^{2}}-m-8 \right|\left| {{z}_{1}} \right|=\left( {{m}^{2}}-m-8 \right)\left| {{z}_{2}} \right|$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-m-8\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\ge \dfrac{1+\sqrt{33}}{2} \\
& m\le \dfrac{1-\sqrt{33}}{2} \\
\end{aligned} \right. $. Kết hợp điều kiện ta được $ m\in \left\{ -3; 4; 5; 6; 7 \right\}$.
Vậy có tất cả là $5$ số nguyên cần tìm.
Đáp án C.