Google
Câu hỏi: Trên cánh đồng có một con bò màu vàng và một con bò sữa được cột vào hai cây cọc khác nhau. Biết khoảng cách giữa 2 cọc là 5m, còn hai sợi dây buộc hai con bò màu vàng và bò sữa lần lượt có chiều dài là 4m và 3m (không tính phần chiều dài dây buộc). Tính diện tích mặt cỏ lớn nhất để bò sữa có thể ăn mà bò vàng không ăn được (làm tròn đến hàng phần nghìn).
A. $6,642{{m}^{2}}.$
B. $21,632{{m}^{2}}.$
C. $43,623{{m}^{2}}.$
D. $24,953{{m}^{2}}.$
Chọn hệ tọa độ Oxy, với gốc O là chỗ cây cọc buộc con bò sữa có sợi dây dài 3m, trục Ox là đường nối 2 cây cọc buộc dây của 2 con bò, ta được như hình vẽ.
Khi đó con bò sữa có sợi dây 3m có thể ăn cỏ trong hình tròn giới hạn bởi đường tròn có bán kính 3m và có phương trình đường tròn tâm O là ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=9,$ suy ra $y=\sqrt{9-{{x}^{2}}}$ là đường phía trên trục hoành.
Ta cũng có phần cỏ của con bò màu vàng có sợi dây 4m bị hạn chế trong đường tròn có phương trình tâm A, bán kính 4 là ${{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=16,$ suy ra $y=\sqrt{16-{{\left( x-5 \right)}^{2}}}$ là đường nằm phía trên trục hoành.
Giao điểm của 2 đường tròn này là nghiệm của hệ 2 phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=9 \\
& {{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=16 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=9 \\
& -10x=-18 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1,8 \\
& y=\pm 2,4 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $ hoành độ điểm B là x = 1,8.
Diện tích phần cỏ lớn nhất hai con bò có thể ăn chung là ${{S}_{C}}=2\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}} \right),$ trong đó ${{S}_{1}}=\int_{1}^{1,8}{\left| \sqrt{16-{{\left( x-5 \right)}^{2}}} \right|dx}$ và ${{S}_{2}}=\int_{1,8}^{3}{\left| \sqrt{9-{{x}^{2}}} \right|dx}\Rightarrow {{S}_{C}}=2\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}} \right)\approx 6,642{{m}^{2}}.$
Diện tích phần cỏ con bò sữa có thể ăn là ${{S}_{A}}=\pi {{.3}^{2}}\approx 28,274{{m}^{2}}$
Vậy diện tích cần tìm là $S={{S}_{A}}-{{S}_{C}}\approx 21,632{{m}^{2}}.$
A. $6,642{{m}^{2}}.$
B. $21,632{{m}^{2}}.$
C. $43,623{{m}^{2}}.$
D. $24,953{{m}^{2}}.$
Khi đó con bò sữa có sợi dây 3m có thể ăn cỏ trong hình tròn giới hạn bởi đường tròn có bán kính 3m và có phương trình đường tròn tâm O là ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=9,$ suy ra $y=\sqrt{9-{{x}^{2}}}$ là đường phía trên trục hoành.
Ta cũng có phần cỏ của con bò màu vàng có sợi dây 4m bị hạn chế trong đường tròn có phương trình tâm A, bán kính 4 là ${{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=16,$ suy ra $y=\sqrt{16-{{\left( x-5 \right)}^{2}}}$ là đường nằm phía trên trục hoành.
Giao điểm của 2 đường tròn này là nghiệm của hệ 2 phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=9 \\
& {{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=16 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=9 \\
& -10x=-18 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1,8 \\
& y=\pm 2,4 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $ hoành độ điểm B là x = 1,8.
Diện tích phần cỏ lớn nhất hai con bò có thể ăn chung là ${{S}_{C}}=2\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}} \right),$ trong đó ${{S}_{1}}=\int_{1}^{1,8}{\left| \sqrt{16-{{\left( x-5 \right)}^{2}}} \right|dx}$ và ${{S}_{2}}=\int_{1,8}^{3}{\left| \sqrt{9-{{x}^{2}}} \right|dx}\Rightarrow {{S}_{C}}=2\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}} \right)\approx 6,642{{m}^{2}}.$
Diện tích phần cỏ con bò sữa có thể ăn là ${{S}_{A}}=\pi {{.3}^{2}}\approx 28,274{{m}^{2}}$
Vậy diện tích cần tìm là $S={{S}_{A}}-{{S}_{C}}\approx 21,632{{m}^{2}}.$
Đáp án B.