Google
Câu hỏi: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình $lo{{g}_{3}}\left( 7-{{3}^{x}} \right)=2-x$ bằng
A. 2.
B. 1.
C. 7.
D. 3.
A. 2.
B. 1.
C. 7.
D. 3.
Hướng Dẫn. Điều kiện: $7-{{3}^{x}}>0.$
Ta có: ${{\log }_{3}}\left( 7-{{3}^{x}} \right)=2-x\Leftrightarrow 7-{{3}^{x}}={{3}^{2-x}}\Leftrightarrow 7-{{3}^{x}}=\dfrac{9}{{{3}^{x}}}\Leftrightarrow {{3}^{2x}}-{{7.3}^{x}}+9=0.$
Đặt ${{3}^{x}}=t,t>0$, phương trình trở thành ${{t}^{2}}-7t+9=0\text{ }\left( 2 \right)$. Nhận thấy phương tình có 2 nghiệm phân biệt mà$\left\{ \begin{matrix}
{{t}_{1}}+{{t}_{2}}=7>0 \\
{{t}_{1}}.{{t}_{2}}=9>0 \\
\end{matrix}\Rightarrow {{t}_{1}},{{t}_{2}}>0. \right. $ Xét$ {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=9\Rightarrow {{3}^{{{x}_{1}}}}{{.3}^{{{x}_{2}}}}=9$
$\Leftrightarrow {{3}^{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}}={{3}^{2}}\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2.$
Ta có: ${{\log }_{3}}\left( 7-{{3}^{x}} \right)=2-x\Leftrightarrow 7-{{3}^{x}}={{3}^{2-x}}\Leftrightarrow 7-{{3}^{x}}=\dfrac{9}{{{3}^{x}}}\Leftrightarrow {{3}^{2x}}-{{7.3}^{x}}+9=0.$
Đặt ${{3}^{x}}=t,t>0$, phương trình trở thành ${{t}^{2}}-7t+9=0\text{ }\left( 2 \right)$. Nhận thấy phương tình có 2 nghiệm phân biệt mà$\left\{ \begin{matrix}
{{t}_{1}}+{{t}_{2}}=7>0 \\
{{t}_{1}}.{{t}_{2}}=9>0 \\
\end{matrix}\Rightarrow {{t}_{1}},{{t}_{2}}>0. \right. $ Xét$ {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=9\Rightarrow {{3}^{{{x}_{1}}}}{{.3}^{{{x}_{2}}}}=9$
$\Leftrightarrow {{3}^{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}}={{3}^{2}}\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2.$
Đáp án A.