Tổng tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình...

Phương trình tương đương $3^{x^2-2x+3-(2|x-m|+2)}={\displaystyle \frac{\ln (2|x-m|+2)}{\ln (x^2-2x+3)}}.$
$\iff 3^{x^2-2x+3}.\ln (x^2-2x+3)=3^{2|x-m|+2}.\ln (2|x-m|+2)(\ast ).$
Xét hàm đặc trưng $f\left(t\right)=3^t.\ln t,t\ge 2$ là hàm số đồng biến nên từ phương trình $(\ast )$ suy ra
$\iff x^2-2x+3=2|x-m|+2\iff g\left(x\right)=x^2-2x-2|x-m|+1=0.$
Có $g\left(x\right)=\{\begin{array}{rl}& x^2-4x+2m+2\text{ khi }x\ge m\\ & x^2-2m+1\text{ khi }x\le m\end{array}\Rightarrow g^{\prime }\left(x\right)=\{\begin{array}{rl}& 2x-4\text{ khi }x\ge m\\ & 2x\text{ khi }x\le m\end{array}$.
Và $g^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{rl}& x=2\text{ khi }x\ge m\\ & x=0\text{ khi }x\le m\end{array}$
Xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: $m\le 0$ ta có bảng biến thiên của $g\left(x\right)$ như sau:

Phương trình chỉ có tối đa 2 nghiệm nên không có $m$ thỏa mãn.
Trường hợp 2: $m\ge 2$ tương tự.
Trường hợp 3: $0<m<2,$ bảng biến thiên $g\left(x\right)$ như sau:

Phương trình có 3 nghiệm khi $[\begin{array}{rl}& {(m-1)}^2=0\\ & -2m+1=0>2m-3\\ & -2m+1<0=2m-3\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& m=1\\ & m={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & m={\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}.$