Google
Câu hỏi: Tổng tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình ${{3}^{{{x}^{2}}-2x+1-2\left| x-m \right|}}={{\log }_{{{x}^{2}}-2x+3}}\left( 2\left| x-m \right|+2 \right)$ có đúng ba nghiệm phân biệt là
A. 3
B. 0
C. 2
D. 1
A. 3
B. 0
C. 2
D. 1
Phương trình tương đương ${{3}^{{{x}^{2}}-2x+3-\left( 2\left| x-m \right|+2 \right)}}=\dfrac{\ln \left( 2\left| x-m \right|+2 \right)}{\ln \left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)}.$
$\Leftrightarrow {{3}^{{{x}^{2}}-2x+3}}.\ln \left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)={{3}^{2\left| x-m \right|+2}}.\ln \left( 2\left| x-m \right|+2 \right)\left( * \right).$
Xét hàm đặc trưng $f\left( t \right)={{3}^{t}}.\ln t,t\ge 2$ là hàm số đồng biến nên từ phương trình $\left( * \right)$ suy ra
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+3=2\left| x-m \right|+2\Leftrightarrow g\left( x \right)={{x}^{2}}-2x-2\left| x-m \right|+1=0.$
Có $g\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-4x+2m+2\text{ khi }x\ge m \\
& {{x}^{2}}-2m+1\text{ khi }x\le m \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g'\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& 2x-4\text{ khi }x\ge m \\
& 2x\text{ khi }x\le m \\
\end{aligned} \right.$.
Và $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2\text{ khi }x\ge m \\
& x=0\text{ khi }x\le m \\
\end{aligned} \right.$
Xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: $m\le 0$ ta có bảng biến thiên của $g\left( x \right)$ như sau:
Phương trình chỉ có tối đa 2 nghiệm nên không có $m$ thỏa mãn.
Trường hợp 2: $m\ge 2$ tương tự.
Trường hợp 3: $0<m<2,$ bảng biến thiên $g\left( x \right)$ như sau:
Phương trình có 3 nghiệm khi $\left[ \begin{aligned}
& {{\left( m-1 \right)}^{2}}=0 \\
& -2m+1=0>2m-3 \\
& -2m+1<0=2m-3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=\dfrac{1}{2} \\
& m=\dfrac{3}{2} \\
\end{aligned} \right..$
$\Leftrightarrow {{3}^{{{x}^{2}}-2x+3}}.\ln \left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)={{3}^{2\left| x-m \right|+2}}.\ln \left( 2\left| x-m \right|+2 \right)\left( * \right).$
Xét hàm đặc trưng $f\left( t \right)={{3}^{t}}.\ln t,t\ge 2$ là hàm số đồng biến nên từ phương trình $\left( * \right)$ suy ra
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+3=2\left| x-m \right|+2\Leftrightarrow g\left( x \right)={{x}^{2}}-2x-2\left| x-m \right|+1=0.$
Có $g\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-4x+2m+2\text{ khi }x\ge m \\
& {{x}^{2}}-2m+1\text{ khi }x\le m \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g'\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& 2x-4\text{ khi }x\ge m \\
& 2x\text{ khi }x\le m \\
\end{aligned} \right.$.
Và $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2\text{ khi }x\ge m \\
& x=0\text{ khi }x\le m \\
\end{aligned} \right.$
Xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: $m\le 0$ ta có bảng biến thiên của $g\left( x \right)$ như sau:
Phương trình chỉ có tối đa 2 nghiệm nên không có $m$ thỏa mãn.
Trường hợp 2: $m\ge 2$ tương tự.
Trường hợp 3: $0<m<2,$ bảng biến thiên $g\left( x \right)$ như sau:
Phương trình có 3 nghiệm khi $\left[ \begin{aligned}
& {{\left( m-1 \right)}^{2}}=0 \\
& -2m+1=0>2m-3 \\
& -2m+1<0=2m-3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=\dfrac{1}{2} \\
& m=\dfrac{3}{2} \\
\end{aligned} \right..$
Đáp án A.