Google
Câu hỏi: Tổng giá trị nghiệm nguyên thuộc khoảng $\left[ -10;10 \right]$ của bất phương trình
${{\left( 1+\sqrt{10} \right)}^{{{\log }_{3}}\left( x+9 \right)}}-\dfrac{5}{3}{{\left( -1+\sqrt{10} \right)}^{{{\log }_{3}}\left( x+9 \right)}}\ge -\dfrac{2}{3}\cdot x-6 $ là
A. $55$.
B. $45$.
C. $21$.
D. $19$.
Tập xác định: $D=\left( -9; +\infty \right).$
${{\left( 1+\sqrt{10} \right)}^{{{\log }_{3}}\left( x+9 \right)}}-\dfrac{5}{3}{{\left( -1+\sqrt{10} \right)}^{{{\log }_{3}}\left( x+9 \right)}}\ge -\dfrac{2}{3}\cdot x-6 $
$ \Leftrightarrow {{\left( 1+\sqrt{10} \right)}^{{{\log }_{3}}\left( x+9 \right)}}-\dfrac{5}{3}{{\left( -1+\sqrt{10} \right)}^{{{\log }_{3}}\left( x+9 \right)}}\ge -\dfrac{2}{3}\cdot \left( x+9 \right) \left( 1 \right) $
Ta có: $\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\left( 1+\sqrt{10} \right)}^{{{\log }_{3}}\left( x+9 \right)}}-\dfrac{5}{3}\cdot {{\left( -1+\sqrt{10} \right)}^{{{\log }_{3}}\left( x+9 \right)}}\ge -\dfrac{2}{3}\cdot {{3}^{{{\log }_{3}}\left( x+9 \right)}} \left( 2 \right)$.
Đặt $t={{\log }_{3}}\left( x+9 \right), t\in \mathbb{R}$ ta được: $\left( 2 \right)\Leftrightarrow {{\left( 1+\sqrt{10} \right)}^{t}}-\dfrac{5}{3}\cdot {{\left( -1+\sqrt{10} \right)}^{t}}\ge -\dfrac{2}{3}\cdot {{3}^{t}}$
$\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{1+\sqrt{10}}{3} \right)}^{t}}-\dfrac{5}{3}\cdot {{\left( \dfrac{-1+\sqrt{10}}{3} \right)}^{t}}\ge -\dfrac{2}{3}$ $\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{1+\sqrt{10}}{3} \right)}^{t}}-\dfrac{5}{3}\cdot {{\left( \dfrac{-1+\sqrt{10}}{3} \right)}^{t}}+\dfrac{2}{3}\ge 0 \left( 3 \right)$
Đặt $u={{\left( \dfrac{1+\sqrt{10}}{3} \right)}^{t}}, u>0$ ta được:
$\left( 3 \right)\Leftrightarrow u-\dfrac{5}{3}\cdot \dfrac{1}{u}+\dfrac{2}{3}\ge 0$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{3u}\cdot \left( 3{{u}^{2}}+2u-5 \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow 3{{u}^{2}}+2u-5\ge 0$ $\Leftrightarrow u\in \left( -\infty ; -\dfrac{5}{3} \right]\cup \left[ 1; +\infty \right).$
Vì $u>0$ nên $u\in \left[ 1; +\infty \right)\Leftrightarrow u\ge 1\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{1+\sqrt{10}}{3} \right)}^{t}}\ge 1\Leftrightarrow t\ge 0\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( x+9 \right)\ge 0\Leftrightarrow x\ge -8.$
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $T=\left[ -8; +\infty \right).$
Vậy số nghiệm nguyên $x\in \left[ -8;10 \right]$, suy ra tổng số nghiệm nguyên:
$S=-8+\left( -7 \right)+\left( -6 \right)+...+8+9+10=19$.
${{\left( 1+\sqrt{10} \right)}^{{{\log }_{3}}\left( x+9 \right)}}-\dfrac{5}{3}{{\left( -1+\sqrt{10} \right)}^{{{\log }_{3}}\left( x+9 \right)}}\ge -\dfrac{2}{3}\cdot x-6 $ là
A. $55$.
B. $45$.
C. $21$.
D. $19$.
Tập xác định: $D=\left( -9; +\infty \right).$
${{\left( 1+\sqrt{10} \right)}^{{{\log }_{3}}\left( x+9 \right)}}-\dfrac{5}{3}{{\left( -1+\sqrt{10} \right)}^{{{\log }_{3}}\left( x+9 \right)}}\ge -\dfrac{2}{3}\cdot x-6 $
$ \Leftrightarrow {{\left( 1+\sqrt{10} \right)}^{{{\log }_{3}}\left( x+9 \right)}}-\dfrac{5}{3}{{\left( -1+\sqrt{10} \right)}^{{{\log }_{3}}\left( x+9 \right)}}\ge -\dfrac{2}{3}\cdot \left( x+9 \right) \left( 1 \right) $
Ta có: $\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\left( 1+\sqrt{10} \right)}^{{{\log }_{3}}\left( x+9 \right)}}-\dfrac{5}{3}\cdot {{\left( -1+\sqrt{10} \right)}^{{{\log }_{3}}\left( x+9 \right)}}\ge -\dfrac{2}{3}\cdot {{3}^{{{\log }_{3}}\left( x+9 \right)}} \left( 2 \right)$.
Đặt $t={{\log }_{3}}\left( x+9 \right), t\in \mathbb{R}$ ta được: $\left( 2 \right)\Leftrightarrow {{\left( 1+\sqrt{10} \right)}^{t}}-\dfrac{5}{3}\cdot {{\left( -1+\sqrt{10} \right)}^{t}}\ge -\dfrac{2}{3}\cdot {{3}^{t}}$
$\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{1+\sqrt{10}}{3} \right)}^{t}}-\dfrac{5}{3}\cdot {{\left( \dfrac{-1+\sqrt{10}}{3} \right)}^{t}}\ge -\dfrac{2}{3}$ $\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{1+\sqrt{10}}{3} \right)}^{t}}-\dfrac{5}{3}\cdot {{\left( \dfrac{-1+\sqrt{10}}{3} \right)}^{t}}+\dfrac{2}{3}\ge 0 \left( 3 \right)$
Đặt $u={{\left( \dfrac{1+\sqrt{10}}{3} \right)}^{t}}, u>0$ ta được:
$\left( 3 \right)\Leftrightarrow u-\dfrac{5}{3}\cdot \dfrac{1}{u}+\dfrac{2}{3}\ge 0$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{3u}\cdot \left( 3{{u}^{2}}+2u-5 \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow 3{{u}^{2}}+2u-5\ge 0$ $\Leftrightarrow u\in \left( -\infty ; -\dfrac{5}{3} \right]\cup \left[ 1; +\infty \right).$
Vì $u>0$ nên $u\in \left[ 1; +\infty \right)\Leftrightarrow u\ge 1\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{1+\sqrt{10}}{3} \right)}^{t}}\ge 1\Leftrightarrow t\ge 0\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( x+9 \right)\ge 0\Leftrightarrow x\ge -8.$
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $T=\left[ -8; +\infty \right).$
Vậy số nghiệm nguyên $x\in \left[ -8;10 \right]$, suy ra tổng số nghiệm nguyên:
$S=-8+\left( -7 \right)+\left( -6 \right)+...+8+9+10=19$.
Đáp án D.