Tổng các giá trị nguyên của tham số m để phương trình...

${{e}^{x}}+\left( {{m}^{2}}-m \right){{e}^{-x}}=2m\Leftrightarrow {{e}^{2x}}-2m{{e}^{x}}+{{m}^{2}}-m=0$
Đặt $t={{e}^{x}}\left( t>0 \right)$, phương trình trở thành ${{t}^{2}}-2mt+{{m}^{2}}-m=0\left( * \right)$
Ta có $x<\dfrac{1}{\log e}\Leftrightarrow t={{e}^{x}}<{{e}^{\dfrac{1}{\log e}}}={{e}^{\ln 10}}=10$
Bài toán trở thành tìm điều kiện để phương trình (*) có 2 nghiệm thỏa mãn
$0<{{t}_{1}}<{{t}_{2}}<10\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta '={{m}^{2}}-{{m}^{2}}+m>0 \\
& 0<S=2m<20 \\
& P={{m}^{2}}-m>0 \\
& \left( {{t}_{1}}-10 \right)\left( {{t}_{2}}-10 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& 0<m<10 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m>1 \\
& m<0 \\
\end{aligned} \right. \\
& {{m}^{2}}-m-10.2m+100>0 \\
\end{aligned} \right.$
Kết hợp điều kiện $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 2;3;4;5;6;7 \right\}$
Vậy tổng các giá trị nguyên của m thỏa mãn bằng 27