Google
Câu hỏi: Tính thể tích $V$ của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=1$ và $x=4$, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x \left( 1\le x\le 4 \right)$ thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là $x$ và $\sqrt{4-x}.$
A. $V=\dfrac{81}{4}\pi .$
B. $V=\dfrac{22\sqrt{3}}{5}\pi .$
C. $V=\dfrac{81}{4}.$
D. $V=\dfrac{22\sqrt{3}}{5}.$
A. $V=\dfrac{81}{4}\pi .$
B. $V=\dfrac{22\sqrt{3}}{5}\pi .$
C. $V=\dfrac{81}{4}.$
D. $V=\dfrac{22\sqrt{3}}{5}.$
Diện tích của thiết diện $S\left( x \right)=x.\sqrt{4-x}$.
Khi đó thể tích vật thể $V=\pi \int\limits_{1}^{4}{S\left( x \right)}dx=\pi \int\limits_{1}^{4}{x\sqrt{4-x}}dx$
Đặt $u=\sqrt{4-x}\Rightarrow {{u}^{2}}=4-x$
$\Rightarrow 2udu=-dx\Leftrightarrow dx=-2udu$ và $x=4-{{u}^{2}}$
Đổi cận:
$V=\pi \int\limits_{1}^{4}{x\sqrt{4-x}}dx=\pi \int\limits_{\sqrt{3}}^{0}{\left( 4-{{u}^{2}} \right).u.\left( -2u \right)du}$
$V=2\pi \int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\left( 4{{u}^{2}}-{{u}^{4}} \right)du}=2\pi \left. \left( \dfrac{4{{u}^{3}}}{3}-\dfrac{{{u}^{5}}}{5} \right) \right|_{0}^{\sqrt{3}}=2\pi \left( 4\sqrt{3}-\dfrac{9\sqrt{3}}{5} \right)=\dfrac{22\pi \sqrt{3}}{5}$.
Khi đó thể tích vật thể $V=\pi \int\limits_{1}^{4}{S\left( x \right)}dx=\pi \int\limits_{1}^{4}{x\sqrt{4-x}}dx$
Đặt $u=\sqrt{4-x}\Rightarrow {{u}^{2}}=4-x$
$\Rightarrow 2udu=-dx\Leftrightarrow dx=-2udu$ và $x=4-{{u}^{2}}$
Đổi cận:
$V=2\pi \int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\left( 4{{u}^{2}}-{{u}^{4}} \right)du}=2\pi \left. \left( \dfrac{4{{u}^{3}}}{3}-\dfrac{{{u}^{5}}}{5} \right) \right|_{0}^{\sqrt{3}}=2\pi \left( 4\sqrt{3}-\dfrac{9\sqrt{3}}{5} \right)=\dfrac{22\pi \sqrt{3}}{5}$.
Đáp án B.