Tính quãng đường vật đi được đến khi dừng lại.

hoangmac đã viết:

Bài toán
Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng $m=0,04 kg$ và lò xo có độ cứng $k=10 N/m$. Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo. Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là $\mu=0,1$. Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị giãn $8,5 cm$ rồi buông nhẹ để con lắc dao động tắt dần. Lấy $g = \pi^2= 10 m/s^2$. Tính quãng đường vật đi được đến khi dừng lại.
A. $90,2 cm$
B. $90.3125 cm$
C. $90.5 cm$
D. $90.4 cm$

Click để xem thêm...

Lời giải
$$x=\dfrac{mu mg}{k}=0,4cm$$
Ta có:
$$\dfrac{A_{0}}{x}=21,25$$
Nên sau $21\dfrac{T}{4}$, vật ở vị trí cân bằng động
Bảo toàn năng lượng sau $21\dfrac{T}{4}$
$$\dfrac{kA_{0}^2}{2}=\dfrac{k\left(A_{0}-21x\right)^2}{2}+\dfrac{kx^2}{2}+\mu mg.s$$
$$s=0,901m$$
Do sau $21\dfrac{T}{4}$ vật ở vị trí cân bằng động nên vẫn còn vận tốc, vật sẽ dao động tiếp phần tư dao động nữa rồi dừng hẳn, nên
$$S=s+(A-21x)=0,902m$$
Đáp án C.
________________________
Công thức:
Quãng đường vật đi được đến khi dừng lại
$$S=2NA_{0}-\dfrac{2N^2\mu mg}{k}$$
Với $N$ là số nửa chu kì nửa chu kì được làm tròn
Chứng minh
Bảo toàn năng lượng cho $n$ nửa chu kì
$$\dfrac{kA_{0}^2}{2}=\dfrac{k\left(A_{0}-2n\dfrac{\mu mg}{k}\right)^2}{2}+\mu mg.s$$
$$ s=2nA_{0}-\dfrac{2n^2\mu mg}{k}$$
Nếu $N\leq n+\dfrac{1}{2}$(làm tròn là được N=n) thì sau $n$ chu kì (tức tại biên, vận tốc bằng 0), li độ vật nằm trong $x\leq \dfrac{\mu mg}{k} $, vận tốc bằng 0 nên vật sẽ dừng tại đó, nên công thức đúng!
Nếu $N> n+\dfrac{1}{2}$, tức $N\dfrac{T}{2}>n\dfrac{T}{2}+\dfrac{T}{4}$
Đến đây là trường hợp như bài toán ở trên.
Sau $n\dfrac{T}{2}+\dfrac{T}{4}$ thì biên độ của vật là
$$A=A_{0}-(2n+1)\dfrac{\mu mg}{k}$$
Khi đó vật đang ở vị trí cân bằng động nên sẽ đi tiếp phần tư dao động nữa( tức $A$) rồi tắt hẳn, nên khi đó vật cách vị trí cân bằng
$$x=\dfrac{\mu mg}{k}-A=2(n+1)\dfrac{\mu mg}{k}-A_{0}$$
Bảo toàn năng lượng
$$\dfrac{kA_{0}^2}{2}=\dfrac{k\left(A_{0}-2(n+1)\dfrac{\mu mg}{k}\right)^2}{2}+\mu mg.S$$
Suy ra: $$ S=2(n+1)A-\dfrac{2(n+1)^2\mu mg}{k}$$
Vậy công thức đúng!