Tính nguyên hàm $I=\int{\sin x.{{e}^{x}}dx}$, ta được:

Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=\sin x \\
& dv={{e}^{x}}dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=\cos xdx \\
& v={{e}^{x}} \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó áp dụng công thức tích phân từng phần, ta được $I={{e}^{x}}\sin x-\int{\cos x{{e}^{x}}dx}={{e}^{x}}\sin x-J$.
Tính $J=\int{\cos x{{e}^{x}}dx}$. Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=\cos x \\
& dv={{e}^{x}}dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=-\sin xdx \\
& v={{e}^{x}} \\
\end{aligned} \right.$.
Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta được: $J={{e}^{x}}\cos x+\int{\sin x{{e}^{x}}dx}={{e}^{x}}\cos x+I$.
Do đó $I={{e}^{x}}\sin x-J={{e}^{x}}\sin x-\left( {{e}^{x}}\cos x+I \right)\Leftrightarrow 2I={{e}^{x}}\sin x-{{e}^{x}}\cos x={{e}^{x}}\left( \sin x-\cos x \right)$.
Vậy $I=\dfrac{1}{2}{{e}^{x}}\left( \sin x-\cos x \right)+C$.