Google
Câu hỏi: Tìm tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\dfrac{\sqrt{x+3}-2x}{{{x}^{2}}-1}$
A. $1$
B. $3$
C. $4$
D. $2$
A. $1$
B. $3$
C. $4$
D. $2$
Tập xác định: $D=\left[ -3;+\infty \right)\backslash \left\{ \pm 1 \right\}$
Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{x+3}-2x}{{{x}^{2}}-1}=0$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=0$
$\begin{aligned}
& \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{x+3}-2x}{{{x}^{2}}-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{x+3-4{{x}^{2}}}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\left( \sqrt{x+3}+2x \right)}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{\left( -4x-3 \right)\left( x-1 \right)}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\left( \sqrt{x+3}+2x \right)} \\
& =\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{\left( -4x-3 \right)}{\left( x+1 \right)\left( \sqrt{x+3}+2x \right)}=\dfrac{-7}{8} \\
& \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{x+3}-2x}{{{x}^{2}}-1}=\dfrac{-7}{8} \\
& \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{x+3}-2x}{{{x}^{2}}-1}=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{\left( -4x-3 \right)}{\left( x+1 \right)\left( \sqrt{x+3}+2x \right)}=-\infty \\
\end{aligned}$
Nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng $x=-1$
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.
Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{x+3}-2x}{{{x}^{2}}-1}=0$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=0$
$\begin{aligned}
& \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{x+3}-2x}{{{x}^{2}}-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{x+3-4{{x}^{2}}}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\left( \sqrt{x+3}+2x \right)}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{\left( -4x-3 \right)\left( x-1 \right)}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\left( \sqrt{x+3}+2x \right)} \\
& =\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{\left( -4x-3 \right)}{\left( x+1 \right)\left( \sqrt{x+3}+2x \right)}=\dfrac{-7}{8} \\
& \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{x+3}-2x}{{{x}^{2}}-1}=\dfrac{-7}{8} \\
& \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{x+3}-2x}{{{x}^{2}}-1}=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{\left( -4x-3 \right)}{\left( x+1 \right)\left( \sqrt{x+3}+2x \right)}=-\infty \\
\end{aligned}$
Nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng $x=-1$
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.
Đáp án D.
