Tìm tham số m để tồn tại duy nhất cặp số $\left( x;y \right)$ thỏa...

Xét hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{2019}}\left( x+y \right)\le 0\text{ }\left( 1 \right) \\
& x+y+\sqrt{2xy+m}\ge 1\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\left( x;y \right)$ là nghiệm hệ bất phương trình thì $\left( y;x \right)$ cũng là nghiệm của hệ bất phương trình. Do đó hệ có nghiệm duy nhất $\Rightarrow x=y$.
Khi đó: $\left( 1 \right)\Leftrightarrow 0<2x\le 1\Leftrightarrow 0<x\le \dfrac{1}{2}$.
Với $0<x\le \dfrac{1}{2}; \left( 2 \right)\Leftrightarrow 2x+\sqrt{2{{x}^{2}}+m}\ge 1$.
$\Leftrightarrow \sqrt{2{{x}^{2}}+m}\ge 1-2x\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+m\ge 1-4x+4{{x}^{2}}\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-4x+1\le m$
Đặt $f\left( x \right)=2{{x}^{2}}-4x+1$
$f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( 0;\dfrac{1}{2} \right)$ nên $f\left( x \right)\ge f\left( \dfrac{1}{2} \right)=-\dfrac{1}{2},\forall x\in \left( 0;\dfrac{1}{2} \right]$.
Do đó hệ có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{2}$.